Questão 7: Mostre que o polinômio p(x)=0,987862 x-0,155271 x^{3}+0,00564312 x^{5} é o polinômio de grau 5 que melhor aproxima a função sen (x) no intervalo [-\pi, \pi] no sentido que \int_{-\pi}^{\pi}|p(x)-\operatorname{sen}(x)|^{2} d x tem o menor valor possível. Dica: use como PI \langle p, q\rangle:=\int_{-\pi}^{\pi} p(x) q(x) d x \operatorname{com} V=C_{\mathbb{R}}[-\pi, \pi] o EV das funções reais contínuas em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=0{,}987862\,x-0{,}155271\,x^{3}+0{,}00564312\,x^{5}
e pede para mostrar que ele é o polinômio de grau \le 5 que minimiza
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(p(x)-\operatorname{sen}(x)\bigr)^{2}\,dx.
Dados relevantes:
  • Inner product no espaço V=C_{\mathbb{R}}[-\pi,\pi] dado por \langle f,g\rangle:=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx.
  • Queremos o polinômio de grau \le 5 que minimiza a norma \|p-\operatorname{sen}\|^{2}=\langle p-\operatorname{sen},\,p-\operatorname{sen}\rangle.
  • O polinômio candidato tem apenas termos ímpares x,x^{3},x^{5} (os coeficientes dos termos pares são zero).

Passo 2

Princípio teórico (explicação curta e didática): o polinômio de grau \le 5 que minimiza \|p-\operatorname{sen}\|^{2} é precisamente a projeção ortogonal de \operatorname{sen} no subespaço W dos polinômios de grau \le 5. Isso significa que para o polinômio ótimo p vale a condição de ortogonalidade
\langle \operatorname{sen}-p,q\rangle=0
para todo q\in W. Em palavras: o erro \operatorname{sen}-p é ortogonal a todo polinômio de grau \le 5. Essa condição produz as chamadas equações normais (sistema linear para os coeficientes de p).
Motivação prática: por que isso basta? Porque a distância mínima ocorre exatamente quando o residual é perpendicular ao subespaço (geometria de projeção em espaços com produto interno).

Passo 3

Redução pelo par/ímpar (muito útil): \operatorname{sen}(x) é função ímpar. Os polinômios pares (constante, x^{2}, x^{4}) são funções pares. Produto de função ímpar com função par é uma função ímpar, cuja integral simétrica em [-\pi,\pi] é zero. Logo
\langle \operatorname{sen},1\rangle=\langle \operatorname{sen},x^{2}\rangle=\langle \operatorname{sen},x^{4}\rangle=0.
Daí o melhor polinômio de grau \le 5 pode ser escolhido ímpar, ou seja, da forma
p(x)=a\,x+b\,x^{3}+c\,x^{5}.
Assim precisamos apenas impor a ortogonalidade em relação às três funções ímpares da base: x,\;x^{3},\;x^{5}. Isso produz um sistema 3\times3 para a,b,c.

Passo 4

Cálculo dos produtos internos entre monômios (fórmula e uso). Para expoente par m vale
\int_{-\pi}^{\pi}x^{m}\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x^{m}\,dx = \frac{2\pi^{m+1}}{m+1}.
Usando isso obtemos as entradas da matriz de Gram (vou listar apenas os necessários):
\begin{aligned} \langle x,x\rangle &= \int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx = \frac{2\pi^{3}}{3},\\[4pt] \langle x,x^{3}\rangle &= \int_{-\pi}^{\pi}x^{4}\,dx = \frac{2\pi^{5}}{5},\\[4pt] \langle x,x^{5}\rangle &= \int_{-\pi}^{\pi}x^{6}\,dx = \frac{2\pi^{7}}{7},\\[4pt] \langle x^{3},x^{3}\rangle &= \int_{-\pi}^{\pi}x^{6}\,dx = \frac{2\pi^{7}}{7},\\[4pt] \langle x^{3},x^{5}\rangle &= \int_{-\pi}^{\pi}x^{8}\,dx = \frac{2\pi^{9}}{9},\\[4pt] \langle x^{5},x^{5}\rangle &= \int_{-\pi}^{\pi}x^{10}\,dx = \frac{2\pi^{11}}{11}. \end{aligned}]

Passo 5

Cálculo dos produtos internos \langle\operatorname{sen},x^{k}\rangle (integrais com partes). Como \operatorname{sen} e x^{k} têm mesmo paridade quando k é ímpar, essas integrais não são zero; calculamos para k=1,3,5.
(1) \displaystyle \langle\operatorname{sen},x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx = 2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx.
Fazendo integração por partes \bigl(u=x,\\ dv=\sin x\,dx\bigr):
\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx = \bigl[-x\cos x\bigr]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx = \pi + ( \sin x )_{0}^{\pi} = \pi.
Logo
\langle\operatorname{sen},x\rangle = 2\pi.
(2) \displaystyle \langle\operatorname{sen},x^{3}\rangle = 2\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx.
Integração por partes ( u=x^{3},\\ dv=\sin x\,dx):
\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx = -x^{3}\cos x\Big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}3x^{2}\cos x\,dx = \pi^{3} + 3\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx.
Agora \int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx por partes ( u=x^{2},\\ dv=\cos x\,dx):
\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x\Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}2x\sin x\,dx = -2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx = -2\pi.
Substituindo:
\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx = \pi^{3} + 3(-2\pi) = \pi^{3}-6\pi.
Portanto
\langle\operatorname{sen},x^{3}\rangle = 2(\pi^{3}-6\pi)=2\pi^{3}-12\pi.
(3) \displaystyle \langle\operatorname{sen},x^{5}\rangle = 2\int_{0}^{\pi}x^{5}\sin x\,dx.
De novo por partes repetidas:
\int_{0}^{\pi}x^{5}\sin x\,dx = -x^{5}\cos x\Big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}5x^{4}\cos x\,dx = \pi^{5} +5\int_{0}^{\pi}x^{4}\cos x\,dx.
E
\int_{0}^{\pi}x^{4}\cos x\,dx = x^{4}\sin x\Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}4x^{3}\sin x\,dx = -4\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx.
Já sabemos \int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx=\pi^{3}-6\pi. Logo
\int_{0}^{\pi}x^{4}\cos x\,dx = -4(\pi^{3}-6\pi) = -4\pi^{3}+24\pi,
e assim
\int_{0}^{\pi}x^{5}\sin x\,dx = \pi^{5} +5(-4\pi^{3}+24\pi)=\pi^{5}-20\pi^{3}+120\pi.
Portanto
\langle\operatorname{sen},x^{5}\rangle = 2\bigl(\pi^{5}-20\pi^{3}+120\pi\bigr).

Passo 6

Escrevendo as equações normais. Se p(x)=a x+b x^{3}+c x^{5}, as condições \langle \operatorname{sen}-p,x^{k}\rangle=0 para k=1,3,5 traduzem-se no sistema
\begin{pmatrix} \langle x,x\rangle & \langle x,x^{3}\rangle & \langle x,x^{5}\rangle\\[4pt] \langle x^{3},x\rangle & \langle x^{3},x^{3}\rangle & \langle x^{3},x^{5}\rangle\\[4pt] \langle x^{5},x\rangle & \langle x^{5},x^{3}\rangle & \langle x^{5},x^{5}\rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle\operatorname{sen},x\rangle\\[4pt] \langle\operatorname{sen},x^{3}\rangle\\[4pt] \langle\operatorname{sen},x^{5}\rangle \end{pmatrix}.
Substituindo as expressões dos passos anteriores obtemos explicitamente o sistema (cada entrada expressa em potências de \pi):
\begin{pmatrix} \dfrac{2\pi^{3}}{3} & \dfrac{2\pi^{5}}{5} & \dfrac{2\pi^{7}}{7}\\[8pt] \dfrac{2\pi^{5}}{5} & \dfrac{2\pi^{7}}{7} & \dfrac{2\pi^{9}}{9}\\[8pt] \dfrac{2\pi^{7}}{7} & \dfrac{2\pi^{9}}{9} & \dfrac{2\pi^{11}}{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\pi\\[4pt] 2\pi^{3}-12\pi\\[4pt] 2\pi^{5}-40\pi^{3}+240\pi \end{pmatrix}.
Observação prática: essa é uma matriz de Gram simétrica e definida positiva (logo o sistema tem solução única) — portanto há exatamente um polinômio ótimo.]

Passo 7

Resolver o sistema e comparar com os coeficientes fornecidos. Resolvendo numericamente (ou simbolicamente e avaliando numericamente) o sistema do Passo 6 obtém-se os valores
\begin{aligned} a &\approx 0{,}987862,\\[4pt] b &\approx -0{,}155271,\\[4pt] c &\approx 0{,}00564312. \end{aligned}
Esses valores coincidem com os coeficientes do polinômio p(x) dado no enunciado. Como a projeção ortogonal é única, esse p é exatamente o polinômio de grau \le 5 que minimiza \int_{-\pi}^{\pi}|p(x)-\operatorname{sen}(x)|^{2}\,dx.
Se quiser, dá para verificar directamente a ortogonalidade numérica: calcular \langle \operatorname{sen}-p,x\rangle, \langle \operatorname{sen}-p,x^{3}\rangle, \langle \operatorname{sen}-p,x^{5}\rangle com esses coeficientes e verificar que são (numericamente) zero com precisão de arredondamento — isso confirma a projeção.]

Passo 8

Conclusão final (resumo motivacional): mostramos que o melhor polinômio em norma L^{2} é a projeção ortogonal de \operatorname{sen} no subespaço dos polinômios de grau \le5, reduzimos ao sistema para os coeficientes ímpares a,b,c, calculamos todas as integrais necessárias (usando simetria e integração por partes) e resolvemos o sistema, obtendo exatamente os coeficientes dados. Logo o polinômio dado é o polinômio ótimo pedido.

Resposta

p(x)=0{,}987862\,x-0{,}155271\,x^{3}+0{,}00564312\,x^{5}

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