Questão 7: Mostre que o polinômio p(x)=0,987862 x-0,155271 x^{3}+0,00564312 x^{5} é o polinômio de grau 5 que melhor aproxima a função sen (x) no intervalo [-\pi, \pi] no sentido que \int_{-\pi}^{\pi}|p(x)-\operatorname{sen}(x)|^{2} d x tem o menor valor possível. Dica: use como PI \langle p, q\rangle:=\int_{-\pi}^{\pi} p(x) q(x) d x \operatorname{com} V=C_{\mathbb{R}}[-\pi, \pi] o EV das funções reais contínuas em [-\pi, \pi].
Inner product no espaço V=C_{\mathbb{R}}[-\pi,\pi] dado por \langle f,g\rangle:=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx.
Queremos o polinômio de grau \le 5 que minimiza a norma \|p-\operatorname{sen}\|^{2}=\langle p-\operatorname{sen},\,p-\operatorname{sen}\rangle.
O polinômio candidato tem apenas termos ímpares x,x^{3},x^{5} (os coeficientes dos termos pares são zero).
Passo 2
Princípio teórico (explicação curta e didática): o polinômio de grau \le 5 que minimiza \|p-\operatorname{sen}\|^{2} é precisamente a projeção ortogonal de \operatorname{sen} no subespaço W dos polinômios de grau \le 5. Isso significa que para o polinômio ótimo p vale a condição de ortogonalidade
\langle \operatorname{sen}-p,q\rangle=0
para todo q\in W. Em palavras: o erro \operatorname{sen}-p é ortogonal a todo polinômio de grau \le 5. Essa condição produz as chamadas equações normais (sistema linear para os coeficientes de p).
Motivação prática: por que isso basta? Porque a distância mínima ocorre exatamente quando o residual é perpendicular ao subespaço (geometria de projeção em espaços com produto interno).
Passo 3
Redução pelo par/ímpar (muito útil): \operatorname{sen}(x) é função ímpar. Os polinômios pares (constante, x^{2}, x^{4}) são funções pares. Produto de função ímpar com função par é uma função ímpar, cuja integral simétrica em [-\pi,\pi] é zero. Logo
Daí o melhor polinômio de grau \le 5 pode ser escolhido ímpar, ou seja, da forma
p(x)=a\,x+b\,x^{3}+c\,x^{5}.
Assim precisamos apenas impor a ortogonalidade em relação às três funções ímpares da base: x,\;x^{3},\;x^{5}. Isso produz um sistema 3\times3 para a,b,c.
Passo 4
Cálculo dos produtos internos entre monômios (fórmula e uso). Para expoente par m vale
Cálculo dos produtos internos \langle\operatorname{sen},x^{k}\rangle (integrais com partes). Como \operatorname{sen} e x^{k} têm mesmo paridade quando k é ímpar, essas integrais não são zero; calculamos para k=1,3,5.
(1) \displaystyle \langle\operatorname{sen},x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx = 2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx.
Fazendo integração por partes \bigl(u=x,\\ dv=\sin x\,dx\bigr):
Escrevendo as equações normais. Se p(x)=a x+b x^{3}+c x^{5}, as condições \langle \operatorname{sen}-p,x^{k}\rangle=0 para k=1,3,5 traduzem-se no sistema
Observação prática: essa é uma matriz de Gram simétrica e definida positiva (logo o sistema tem solução única) — portanto há exatamente um polinômio ótimo.]
Passo 7
Resolver o sistema e comparar com os coeficientes fornecidos. Resolvendo numericamente (ou simbolicamente e avaliando numericamente) o sistema do Passo 6 obtém-se os valores
\begin{aligned} a &\approx 0{,}987862,\\[4pt] b &\approx -0{,}155271,\\[4pt] c &\approx 0{,}00564312. \end{aligned}
Esses valores coincidem com os coeficientes do polinômio p(x) dado no enunciado. Como a projeção ortogonal é única, esse p é exatamente o polinômio de grau \le 5 que minimiza \int_{-\pi}^{\pi}|p(x)-\operatorname{sen}(x)|^{2}\,dx.
Se quiser, dá para verificar directamente a ortogonalidade numérica: calcular \langle \operatorname{sen}-p,x\rangle, \langle \operatorname{sen}-p,x^{3}\rangle, \langle \operatorname{sen}-p,x^{5}\rangle com esses coeficientes e verificar que são (numericamente) zero com precisão de arredondamento — isso confirma a projeção.]
Passo 8
Conclusão final (resumo motivacional): mostramos que o melhor polinômio em norma L^{2} é a projeção ortogonal de \operatorname{sen} no subespaço dos polinômios de grau \le5, reduzimos ao sistema para os coeficientes ímpares a,b,c, calculamos todas as integrais necessárias (usando simetria e integração por partes) e resolvemos o sistema, obtendo exatamente os coeficientes dados. Logo o polinômio dado é o polinômio ótimo pedido.