Questão 5: Adicionar um binário - a equipolência mantém-se?

Tem-se uma única força \vec{F} aplicada no ponto A. Adiciona-se ao sistema um binário (duas forças iguais e opostas cujas linhas de ação não coincidem). O novo sistema é equipolente ao sistema original (composto apenas pela força \vec{F} )? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz: há uma única força \vec{F} aplicada no ponto A. Depois acrescenta-se ao sistema um binário (duas forças iguais e opostas cujas linhas de ação não coincidem). A pergunta é: o novo sistema (força \vec{F} em A mais o binário) é equipolente ao sistema original (apenas a força \vec{F} em A)? Deve-se justificar a resposta.
Informações dadas e o que se pede:
  • Dado: uma força \vec{F} aplicada em A.
  • Dado: um binário formado por duas forças iguais e opostas (ou seja, uma força \vec{f} aplicada em um ponto B e a força -\vec{f} aplicada em um ponto C), com linhas de ação diferentes (portanto é um binário não nulo, em geral).
  • Pedido: determinar se o sistema composto por \vec{F} em A mais esse binário é equipolente ao sistema composto apenas por \vec{F} em A. “Equipolente” aqui significa ter o mesmo efeito mecânico (mesma resultant e mesmo momento resultante) sobre o corpo rígido.

Passo 2

O que significa “equipolente” em termos de forças (uma mini-aula rápida, calma e sem mistério).
  • Dois sistemas de forças são equipolentes se e somente se tiverem a mesma força resultante e o mesmo momento resultante (momento em relação a um ponto qualquer, ou equivalentemente o mesmo par força-momento, também chamado de “binômio força-momento” ou “wrench”).
  • Em prática: para serem equipolentes é necessário que
    1. as résultantes vetoriais sejam iguais;
    2. os momentos resultantes em relação a um ponto qualquer sejam iguais (sejam iguais para um ponto, serão iguais para qualquer ponto se a résultante também for igual).
  • Intuição: uma única força aplicada em um ponto produz uma résultante (a própria força) e um momento em torno de qualquer ponto dado pela posição desse ponto de aplicação. Um binário puro tem résultante zero mas produz um momento (torque) que não depende do ponto de referência. Se o momento total mudar ao adicionar o binário, os sistemas deixam de ser equipolentes.

Passo 3

Calcular os quantites do sistema original (apenas \vec{F} em A).
  • Seja \vec{r}_A o vetor posição do ponto A relativo a um ponto de referência arbitrário O (escolher O não altera o raciocínio).
  • A resultant do sistema original é simplesmente
\vec{R}_{\text{orig}}=\vec{F}.
  • O momento resultante do sistema original em relação a O é o momento da força em A:
\vec{M}_{\text{orig}}^{(O)}=\vec{r}_A\times\vec{F}.
Expliquei: o produto vetorial \times dá um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{r}_A e \vec{F}; seu módulo é |\vec{r}_A||\vec{F}|\sin\theta, que corresponde ao braço de momento vezes a força. Isso é a medida do “efeito rotacional” da força em torno de O.

Passo 4

Calcular o efeito do binário adicionado (mini-aula sobre o que é um binário e seu momento).
  • Modele o binário como \vec{f} aplicado em B e -\vec{f} aplicado em C (linhas de ação distintas). Denote \vec{r}_B e \vec{r}_C as vetores posição de B e C relativos ao mesmo ponto O.
  • A resultant do binário é
\vec{R}_{\text{binário}}=\vec{f}+(-\vec{f})=\vec{0}.á
  • O momento do binário em relação a O é
\vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}=\vec{r}_B\times\vec{f}+\vec{r}_C\times(-\vec{f})=\bigl(\vec{r}_B-\vec{r}_C\bigr)\times\vec{f}.á
  • Interpretação: \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}á é independente do ponto de aplicação escolhido no sentido de ser um “momento livre” (um binário puro gera sempre o mesmo momento independente da referência), e em geral \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}\neq\vec{0}á se as linhas de ação não coincidirem.

Passo 5

Somar efeitos: resultant e momento do sistema combinado (força \vec{F} em A mais o binário).
  • A resultant do sistema combinado é soma das resultantes:
\vec{R}_{\text{total}}=\vec{R}_{\text{orig}}+\vec{R}_{\text{binário}}=\vec{F}+\vec{0}=\vec{F}.á
Logo a résultante não mudou — isso pode dar a (falsa) sensação de que os sistemas são iguais.
  • O momento total em relação a O é
\vec{M}_{\text{total}}^{(O)}=\vec{M}_{\text{orig}}^{(O)}+\vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}=\vec{r}_A\times\vec{F}+\vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}.áá
  • Comparando com o momento do sistema original \vec{M}_{\text{orig}}^{(O)}=\vec{r}_A\times\vec{F}, vemos que o momento total difere por \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}á. Portanto, salvo caso especial, o momento mudou.

Passo 6

Concluir e explicar por que, fisicamente, o binário impede a equipolência (tom com empatia e leveza).
  • Para dois sistemas serem equipolentes é preciso que tenham a mesma résultante e o mesmo momento. Aqui a résultante ficou igual ( \vec{F}), mas o momento foi alterado por \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}á.
  • Logo, em geral, o novo sistema NÃO é equipolente ao original: o binário acrescenta um momento (torque) que não pode ser eliminado pela simples presença da mesma força \vec{F} aplicada em A.
  • Intuição física: adicionar um binário é como ligar um par de “tendências de rotação” ao corpo — mesmo que a força resultante seja a mesma, o binário adiciona uma tendência adicional de girar que a força única não produzia. Uma única força pode ser deslocada ao longo de sua linha de ação sem mudar seu efeito, mas não pode reproduzir um giro puro (um momento livre) gerado pelo binário, salvo em casos especiais.

Passo 7

Casos especiais em que a equipolência ocorre (ou não) — saber essas exceções é útil na prova.
  • Se o binário for nulo, isto é, \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}=\vec{0}á (por exemplo, se as forças do par tiverem linhas de ação coincidentes ou se \vec{f}=\vec{0}), então
\vec{M}_{\text{total}}^{(O)}=\vec{r}_A\times\vec{F},
e o sistema permanece equipolente ao original. Mas esse caso só acontece quando o “binário” não adiciona momento.
  • Existe uma outra possibilidade técnica: é possível substituir a força \vec{F} aplicada em A por uma força idêntica aplicada em um ponto A' diferente se e somente se a mudança de posição for tal que o novo momento seja o momento total desejado. Em termos vetoriais, queremos um deslocamento \vec{s}=\vec{r}_{A'}-\vec{r}_A tal que
\vec{s}\times\vec{F}=\vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}.á
Isso só tem solução se e somente se
\vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}\cdot\vec{F}=0,á
isto é, se o momento do binário for perpendicular a \vec{F}. Quando \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}\cdot\vec{F}=0á então pode-se escolher
\vec{s}=\frac{\vec{F}\times\vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}}{\lVert\vec{F}\rVert^{2}}á
(uma das infinitas escolhas, adicionando qualquer componente paralelo a \vec{F}) e assim deslocar a força para obter o mesmo momento total. Mas isso é uma condição extra: não acontece necessariamente para um binário qualquer.
  • Resumo das exceções: somente se \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}=\vec{0}á (binário nulo) ou se \vec{M}_{\text{binário}}^{(O)}\cdot\vec{F}=0á e a magnitude permitir o deslocamento adequado, o sistema combinado pode ser representado por uma única força em algum outro ponto — caso contrário, NÃO são equipolentes.

Resposta

Não, em geral não. Ao adicionar o binário a \vec{F} a résultante permanece \vec{F} mas o momento resultante muda para \vec{r}_A\times\vec{F}+\vec{M}_{\text{binário}}á, logo o momento difere do original salvo se \vec{M}_{\text{binário}}=\vec{0}á (ou em casos especiais em que \vec{M}_{\text{binário}}\cdot\vec{F}=0á e se puder escolher um deslocamento \vec{s} tal que \vec{s}\times\vec{F}=\vec{M}_{\text{binário}}á). Portanto, na maioria dos casos não são equipolentes.

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