Dois sistemas de forças atuam sobre diferentes regiões de um corpo rígido. O sistema S_{1} tem resultante \vec{R}_{1} e momento resultante \vec{M}_{O(1)} em relação ao ponto O. O sistema S_{2} tem \vec{R}_{2} e \vec{M}_{O(2)} em relação ao mesmo ponto. Em que condições S_{1} e S_{2} são equipolentes?

Passo 1

O enunciado dá duas coisas para cada sistema de forças, em relação ao mesmo ponto O:
  • Para S_{1}: resultante \vec{R}_{1} e momento resultante \vec{M}_{O(1)}.
  • Para S_{2}: resultante \vec{R}_{2} e momento resultante \vec{M}_{O(2)}.
A pergunta é: em que condições S_{1} e S_{2} são equipolentes? Ou seja, quando eles têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender exatamente o que é cada quantidade e a ideia de “equipolente”.
  • A resultante \vec{R} é a soma vetorial de todas as forças do sistema. Se as forças forem \vec{F}_{i} aplicadas em pontos com vetores posição \vec{r}_{i} (referidos a O), então
\vec{R}=\sum_{i}\vec{F}_{i}.
  • O momento resultante em relação a um ponto P é a soma dos momentos de cada força em relação a P. Em particular, o momento em relação a O é
\vec{M}_{O}=\sum_{i}\vec{r}_{i}\times\vec{F}_{i}.
Aqui \times é o produto vetorial; \vec{r}_{i}\times\vec{F}_{i} dá um vetor que representa o “braço” vezes a força — a tendência de girar em torno de O.
Equipolência significa que os dois sistemas têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido: mesma força resultante e mesma tendência de giro (mesmo momento) em todos os pontos relevantes. Agora vamos formalizar isso.

Passo 3

Vamos relacionar o momento calculado em dois pontos distintos. Seja A um ponto qualquer com vetor posição \vec{a} em relação a O. O momento do sistema em relação a A é
\vec{M}_{A}=\sum_{i}(\vec{r}_{i}-\vec{a})\times\vec{F}_{i}.
Desenvolvendo:
\vec{M}_{A}=\sum_{i}\vec{r}_{i}\times\vec{F}_{i}\;-\;\vec{a}\times\sum_{i}\vec{F}_{i}.
Usando as definições de \vec{M}_{O} e \vec{R} isso vira
\vec{M}_{A}=\vec{M}_{O}-\vec{a}\times\vec{R}.
Esta fórmula é muito importante: ela diz como o momento muda quando trocamos o ponto de referência. Todos os termos já foram explicados: \vec{a} é o vetor de O a A, \vec{R} é a resultante e \vec{M}_{O} o momento em O.

Passo 4

Agora provemos a condição suficiente para equipolência.
Suponha que
\vec{R}_{1}=\vec{R}_{2}\quad\text{e}\quad\vec{M}_{O(1)}=\vec{M}_{O(2)}.
Para qualquer ponto A com posição \vec{a} em relação a O, pelos itens anteriores
\vec{M}_{A(1)}=\vec{M}_{O(1)}-\vec{a}\times\vec{R}_{1}, \qquad \vec{M}_{A(2)}=\vec{M}_{O(2)}-\vec{a}\times\vec{R}_{2}.
Pelo que supusemos, os termos da direita são iguais, logo \vec{M}_{A(1)}=\vec{M}_{A(2)} para todo A. Portanto os dois sistemas têm a mesma resultante e o mesmo momento em qualquer ponto — eles têm exatamente o mesmo efeito sobre o corpo rígido, isto é, são equipolentes. Assim as igualdades acima são suficientes.

Passo 5

Agora mostro que as mesmas igualdades são também necessárias (ou seja, condição necessária e suficiente).
Se S_{1} e S_{2} são equipolentes, por definição eles produzem o mesmo efeito: a mesma força resultante sobre o corpo e a mesma tendência de rotação em todos os pontos. Em particular, tomando o ponto O temos imediatamente
\vec{R}_{1}=\vec{R}_{2}\quad\text{e}\quad\vec{M}_{O(1)}=\vec{M}_{O(2)}.
Portanto as igualdades são necessárias.
Uma forma algébrica alternativa de ver a necessidade: suponha que \vec{M}_{A(1)}=\vec{M}_{A(2)} para todo A. Subtraindo as fórmulas
\bigl(\vec{M}_{O(1)}-\vec{a}\times\vec{R}_{1}\bigr)-\bigl(\vec{M}_{O(2)}-\vec{a}\times\vec{R}_{2}\bigr)=\vec{0}
para todo \vec{a}. Reagrupando,
\bigl(\vec{M}_{O(1)}-\vec{M}_{O(2)}\bigr)-\vec{a}\times\bigl(\vec{R}_{1}-\vec{R}_{2}\bigr)=\vec{0}\quad\text{para todo }\vec{a}.
Isto só pode ocorrer se \vec{R}_{1}-\vec{R}_{2}=\vec{0} (caso contrário o termo \vec{a}\times(\cdot) varia com \vec{a}) e, em seguida, \vec{M}_{O(1)}-\vec{M}_{O(2)}=\vec{0}. Logo necessidade provada.

Passo 6

Caso particular útil: se \vec{R}_{1}=\vec{R}_{2}=\vec{0} (sistemas sem resultante, ou seja, “pares de forças” ou “fôrças em equilíbrio de translação”), a condição reduz-se a exigir apenas
\vec{M}_{O(1)}=\vec{M}_{O(2)}.
Nesse caso o momento é um vetor livre (não depende do ponto de referência), e dois pares de forças são equipolentes se tiverem o mesmo momento (mesma intensidade e mesma direção/orientação do par).

Passo 7

Um exemplo simples para fixar a ideia: se S_{1} é uma única força \vec{F} aplicada em A e S_{2} é a mesma força \vec{F} aplicada em B, então
\vec{R}_{1}=\vec{R}_{2}=\vec{F},
mas
\vec{M}_{O(1)}=\vec{r}_{A}\times\vec{F},\qquad \vec{M}_{O(2)}=\vec{r}_{B}\times\vec{F},
geralmente diferentes. Para que sejam equipolentes é preciso acrescentar ao sistema que tem a força em B um momento complementar igual a (\vec{r}_{A}-\vec{r}_{B})\times\vec{F}. Isso mostra de forma concreta por que mover uma força ao longo do corpo geralmente gera um casal extra.

Passo 8

Resumo prático que você pode usar na prova: verifique primeiro as resultantes; se elas forem iguais, compare os momentos em um mesmo ponto (por exemplo O). Se também forem iguais, pronto — equipolência garantida. Se as resultantes forem nulas, basta comparar os momentos (pares iguais se momentos iguais).
Força! Você já tem a condição precisa e as ferramentas para justificar as respostas na prova — e lembre que o passo-chave é a fórmula de mudança de ponto para o momento.

Resposta

\vec{R}_{1}=\vec{R}_{2} e \vec{M}_{O(1)}=\vec{M}_{O(2)}.

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