Dois sistemas de forças atuam sobre diferentes regiões de um corpo rígido. O sistema
tem resultante
e momento resultante
em relação ao ponto
. O sistema
tem
e
em relação ao mesmo ponto. Em que condições
e
são equipolentes?
Passo 1
O enunciado dá duas coisas para cada sistema de forças, em relação ao mesmo ponto
:
- Para
: resultante e momento resultante . - Para
: resultante e momento resultante .
A pergunta é: em que condições
e
são equipolentes? Ou seja, quando eles têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender exatamente o que é cada quantidade e a ideia de “equipolente”.
- A resultante
é a soma vetorial de todas as forças do sistema. Se as forças forem aplicadas em pontos com vetores posição (referidos a ), então
- O momento resultante em relação a um ponto
é a soma dos momentos de cada força em relação a . Em particular, o momento em relação a é
Aqui
é o produto vetorial;
dá um vetor que representa o “braço” vezes a força — a tendência de girar em torno de
.
Equipolência significa que os dois sistemas têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido: mesma força resultante e mesma tendência de giro (mesmo momento) em todos os pontos relevantes. Agora vamos formalizar isso.
Passo 3
Vamos relacionar o momento calculado em dois pontos distintos. Seja
um ponto qualquer com vetor posição
em relação a
. O momento do sistema em relação a
é
Desenvolvendo:
Usando as definições de
e
isso vira
Esta fórmula é muito importante: ela diz como o momento muda quando trocamos o ponto de referência. Todos os termos já foram explicados:
é o vetor de
a
,
é a resultante e
o momento em
.
Passo 4
Agora provemos a condição suficiente para equipolência.
Suponha que
Para qualquer ponto
com posição
em relação a
, pelos itens anteriores
Pelo que supusemos, os termos da direita são iguais, logo
para todo
. Portanto os dois sistemas têm a mesma resultante e o mesmo momento em qualquer ponto — eles têm exatamente o mesmo efeito sobre o corpo rígido, isto é, são equipolentes. Assim as igualdades acima são suficientes.
Passo 5
Agora mostro que as mesmas igualdades são também necessárias (ou seja, condição necessária e suficiente).
Se
e
são equipolentes, por definição eles produzem o mesmo efeito: a mesma força resultante sobre o corpo e a mesma tendência de rotação em todos os pontos. Em particular, tomando o ponto
temos imediatamente
Portanto as igualdades são necessárias.
Uma forma algébrica alternativa de ver a necessidade: suponha que
para todo
. Subtraindo as fórmulas
para todo
. Reagrupando,
Isto só pode ocorrer se
(caso contrário o termo
varia com
) e, em seguida,
. Logo necessidade provada.
Passo 6
Caso particular útil: se
(sistemas sem resultante, ou seja, “pares de forças” ou “fôrças em equilíbrio de translação”), a condição reduz-se a exigir apenas
Nesse caso o momento é um vetor livre (não depende do ponto de referência), e dois pares de forças são equipolentes se tiverem o mesmo momento (mesma intensidade e mesma direção/orientação do par).
Passo 7
Um exemplo simples para fixar a ideia: se
é uma única força
aplicada em
e
é a mesma força
aplicada em
, então
mas
geralmente diferentes. Para que sejam equipolentes é preciso acrescentar ao sistema que tem a força em
um momento complementar igual a
. Isso mostra de forma concreta por que mover uma força ao longo do corpo geralmente gera um casal extra.
Passo 8
Resumo prático que você pode usar na prova: verifique primeiro as resultantes; se elas forem iguais, compare os momentos em um mesmo ponto (por exemplo
). Se também forem iguais, pronto — equipolência garantida. Se as resultantes forem nulas, basta comparar os momentos (pares iguais se momentos iguais).
Força! Você já tem a condição precisa e as ferramentas para justificar as respostas na prova — e lembre que o passo-chave é a fórmula de mudança de ponto para o momento.