Questão 9 (AFA-2001) Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3, \operatorname{det}(A)=d, \operatorname{det}\left(2 A A^{t}\right)=4 k, onde d é a ordem da matriz quadrada B.
Se \operatorname{det}(B)=2 e \operatorname{det}(3 B)=162, calcule o valor de k+d.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem 3 com \det(A)=d e afirma que
\det\bigl(2\,A\,A^{t}\bigr)=4\,k.
Além disso, existe uma matriz B de ordem d (isto é, B é d\times d) tal que \det(B)=2 e \det(3\,B)=162. Nosso objetivo é achar k+d. Para isso vamos usar duas propriedades de determinantes:
  1. \det(cM)=c^n\det(M) quando M é n\times n.
  2. \det(A\,A^{t})=\det(A)\det(A^{t})=\det(A)^2.

Passo 2

Primeiro determine d a partir de \det(B) e \det(3\,B). Como B é d\times d, temos
\det(3\,B)=3^{d}\,\det(B).
Substituindo \det(B)=2 e \det(3\,B)=162, vem
3^{d}\cdot 2 = 162 \quad\Longrightarrow\quad 3^{d} = 81 \quad\Longrightarrow\quad d = 4.

Passo 3

Agora calcule \det\bigl(2\,A\,A^{t}\bigr) em função de d. Como A\,A^{t} é 3\times 3, vale
\det\bigl(2\,A\,A^{t}\bigr) =2^{3}\,\det\bigl(A\,A^{t}\bigr) =8\;\det(A)\,\det(A^{t}) =8\,d^{2}.
Mas o enunciado diz que esse determinante é 4\,k. Logo
8\,d^{2} = 4\,k \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{8\,d^{2}}{4} = 2\,d^{2}.
Substituindo d=4 resulta
k = 2\cdot 4^{2} = 2\cdot 16 = 32.

Resposta

k+d = 32 + 4 = 36.

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