Questão 8 Se A, B são matrizes inversíveis de mesma ordem, calcule \frac{\operatorname{det}\left(A^{-1} B A\right)}{\operatorname{det}(B)}.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes inversíveis da mesma ordem e pede para calcular
\frac{\det\bigl(A^{-1}BA\bigr)}{\det(B)}.
O conteúdo necessário é a propriedade multiplicativa do determinante em produto de matrizes e a relação entre o determinante de uma inversa.

Passo 2

Usando a propriedade \det(XY)=\det(X)\,\det(Y), aplicamos primeiro a A^{-1}B\,A:
\det\bigl(A^{-1}BA\bigr) =\det\bigl(A^{-1}\bigr)\,\det\bigl(B\,A\bigr).
Em seguida, na mesma propriedade para B\,A:
\det\bigl(B\,A\bigr)=\det(B)\,\det(A).

Passo 3

Combinando os resultados, obtemos
\det\bigl(A^{-1}BA\bigr) =\det\bigl(A^{-1}\bigr)\,\det(B)\,\det(A).

Passo 4

Como A é inversível, vale
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A)},
logo
\det\bigl(A^{-1}BA\bigr) =\frac{1}{\det(A)}\,\det(B)\,\det(A) =\det(B).

Passo 5

Portanto o quociente pedido é
\frac{\det\bigl(A^{-1}BA\bigr)}{\det(B)} =\frac{\det(B)}{\det(B)} =1.

Resposta

1

Exercícios relacionados