Questão 3. Água escoa por uma tubulação de ferro fundido de 300 metros de comprimento e 5 cm de diâmetro, com uma vazão de
. Qual é a perda de carga distribuída? Considere a viscosidade cinemática da água
e a rugosidade do ferro fundido
. Utilize o diagrama de Moody ou a equação de Colebrook para determinar o fator de atrito.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- comprimento da tubulação:
. - diâmetro interno da tubulação:
. - vazão volumétrica:
. - viscosidade cinemática da água:
. - rugosidade absoluta do ferro fundido:
.
O que o enunciado pede:
- determinar a perda de carga distribuída (perda de carga por atrito ao longo dos
).
Obs.: vou calcular a perda de carga em termos de altura de coluna de água (em metros). Para isso preciso do fator de atrito de Darcy ( ), que vou obter usando a equação de Colebrook (iterativamente), conforme solicitado.
Passo 2
Calcular a velocidade média do escoamento a partir da vazão e da área da seção transversal.
Área da seção circular:
Substituindo
:
Velocidade média:
Substituindo
e o
calculado:
Passo 3
Calcular o número de Reynolds para caracterizar o regime de escoamento.
Definição:
onde
é a velocidade média,
o diâmetro e
a viscosidade cinemática.
Substituindo os valores:
Interpretação rápida:
indica escoamento plenamente turbulento.
Passo 4
Apresentar a equação de Colebrook e escolher um método iterativo para obter o fator de atrito
.
Equação de Colebrook (implícita para o fator de Darcy
):
Estratégia prática: usar uma iteração fixa (ou Newton) começando com um palpite inicial. Um palpite simples para
em turbulência é a fórmula de Blasius (válida para Re até cerca de
, mas serve como chute inicial):
Calculemos
:
Também calculei a rugosidade relativa (porque aparece na Colebrook):
Passo 5
Iteração da equação de Colebrook (mostrar algumas iterações até convergência).
Escrevo a iteração na forma:
ou seja, uso
à direita para obter
.
Iteração 1 (usando
):
-
. - Calcular o termo
:
- Soma interna da função log:
- Logo:
Iteração 2 (usando
):
-
. -
. - Soma interna:
. -
. -
Iteração 3 (verificação de convergência):
- Repetindo com
obtém-se . A diferença é negligenciável, então já consideramos convergido.
Resultado final do fator de atrito (arredondando com razoável precisão):
Observação: esse valor é consistente com escoamento turbulento com rugosidade relativa
; poderia também ser lido no diagrama de Moody.
Passo 6
Calcular a perda de carga distribuída usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula:
onde
é a aceleração da gravidade.
Vamos calcular cada termo:
- razão
:
- termo dinâmico
:
Agora a perda de carga total:
Interpretação: a perda de carga distribuída ao longo dos
é enorme (cerca de
de coluna d’água) — isso ocorre porque a velocidade é muito alta numa tubulação de diâmetro pequeno, gerando grande perda por atrito. Se fosse necessária a perda por metro, basta dividir por
:
Também a perda de carga em termos de pressão (Pa) pode ser obtida por
(com
para água), o que daria
(número muito alto), mas o enunciado pediu perda de carga (normalmente em metros de coluna d’água).
Passo 7
Resumo didático e dica para prova:
- Principais passos que você deve lembrar para um exercício assim na prova: (1) converter unidades; (2) calcular
, depois ; (3) calcular e ; (4) obter (Colebrook iterativo ou Moody); (5) aplicar Darcy–Weisbach para . - Se não der tempo para iterar Colebrook, use a fórmula explícita de Swamee–Jain como aproximação rápida.
- Não se assuste com um resultado grande — significa que a combinação
alto com pequeno produz perda elevada; na prática aumentaria-se o diâmetro para reduzir a perda.