Questão 3. Água escoa por uma tubulação de ferro fundido de 300 metros de comprimento e 5 cm de diâmetro, com uma vazão de 0,02 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Qual é a perda de carga distribuída? Considere a viscosidade cinemática da água 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e a rugosidade do ferro fundido 0,26 \mathrm{~mm}. Utilize o diagrama de Moody ou a equação de Colebrook para determinar o fator de atrito.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • comprimento da tubulação: L=300\\ \text{m}.
  • diâmetro interno da tubulação: D=5\\ \text{cm} = 0,05\\ \text{m}.
  • vazão volumétrica: Q=0,02\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
  • viscosidade cinemática da água: \nu=10^{-6}\\ \text{m}^{2}/\text{s}.
  • rugosidade absoluta do ferro fundido: \varepsilon=0,26\\ \text{mm}=0,00026\\ \text{m}.
O que o enunciado pede:
  • determinar a perda de carga distribuída (perda de carga por atrito ao longo dos 300\\ \text{m}).
    Obs.: vou calcular a perda de carga em termos de altura de coluna de água ( h_f em metros). Para isso preciso do fator de atrito de Darcy ( f), que vou obter usando a equação de Colebrook (iterativamente), conforme solicitado.

Passo 2

Calcular a velocidade média do escoamento a partir da vazão e da área da seção transversal.
Área da seção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,05\\ \text{m}:
A = \frac{\pi (0,05)^{2}}{4} = \pi\cdot\frac{0,0025}{4} = 0,001963495\\ \text{m}^{2}\\ \text{(aprox.)}.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A}.
Substituindo Q=0,02\\ \text{m}^{3}/\text{s} e o A calculado:
V = \frac{0,02}{0,001963495} \approx 10,1859\\ \text{m/s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para caracterizar o regime de escoamento.
Definição:
\text{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática.
Substituindo os valores:
\text{Re} = \frac{10,1859\cdot 0,05}{10^{-6}} = \frac{0,509295}{10^{-6}} \approx 5,09295\times 10^{5}.
Interpretação rápida: \text{Re}\approx 5,09\times 10^{5} indica escoamento plenamente turbulento.

Passo 4

Apresentar a equação de Colebrook e escolher um método iterativo para obter o fator de atrito f.
Equação de Colebrook (implícita para o fator de Darcy f):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{2,51}{\text{Re}\,\sqrt{f}}\right).
Estratégia prática: usar uma iteração fixa (ou Newton) começando com um palpite inicial. Um palpite simples para f em turbulência é a fórmula de Blasius (válida para Re até cerca de 10^{5}, mas serve como chute inicial):
f_{0} \approx \frac{0,3164}{\text{Re}^{0,25}}.
Calculemos f_{0}:
f_{0} \approx \frac{0,3164}{(5,09295\times 10^{5})^{0,25}} \approx 0,01184.
Também calculei a rugosidade relativa (porque aparece na Colebrook):
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0,00026}{0,05} = 0,0052.

Passo 5

Iteração da equação de Colebrook (mostrar algumas iterações até convergência).
Escrevo a iteração na forma:
\frac{1}{\sqrt{f_{n+1}}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{2,51}{\text{Re}\,\sqrt{f_{n}}}\right),
ou seja, uso \sqrt{f_{n}} à direita para obter \sqrt{f_{n+1}}.
Iteração 1 (usando f_{0}=0,01184):
  • \sqrt{f_{0}} \approx 0,10882.
  • Calcular o termo 2{,}51/(\text{Re}\sqrt{f_{0}}):
\frac{2,51}{\text{Re}\sqrt{f_{0}}} \approx \frac{2,51}{5,09295\times 10^{5}\cdot 0,10882}\approx 4,52\times 10^{-5}.
  • Soma interna da função log:
\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{2,51}{\text{Re}\sqrt{f_{0}}} \approx 0,0014054 + 4,52\times 10^{-5} = 0,0014506.
  • Logo:
\frac{1}{\sqrt{f_{1}}} = -2\log_{10}(0,0014506)\approx 5,676,
\sqrt{f_{1}} \approx 0,1761,\qquad f_{1}\approx 0,03102.
Iteração 2 (usando f_{1}=0,03102):
  • \sqrt{f_{1}} \approx 0,1761.
  • 2{,}51/(\text{Re}\sqrt{f_{1}}) \approx 2,80\times 10^{-5}.
  • Soma interna: 0,0014054 + 2,80\times 10^{-5} = 0,0014334.
  • \frac{1}{\sqrt{f_{2}}} = -2\log_{10}(0,0014334)\approx 5,686.
  • \sqrt{f_{2}} \approx 0,1759,\qquad f_{2}\approx 0,03095.
Iteração 3 (verificação de convergência):
  • Repetindo com f_{2} obtém-se f_{3}\approx 0,03094. A diferença é negligenciável, então já consideramos convergido.
Resultado final do fator de atrito (arredondando com razoável precisão):
f \approx 0,03094.
Observação: esse valor é consistente com escoamento turbulento com rugosidade relativa \varepsilon/D=0,0052; poderia também ser lido no diagrama de Moody.

Passo 6

Calcular a perda de carga distribuída usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula:
h_{f} = f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde g=9,81\\ \text{m/s}^{2} é a aceleração da gravidade.
Vamos calcular cada termo:
  • razão L/D:
\frac{L}{D} = \frac{300}{0,05} = 6000.
  • termo dinâmico \dfrac{V^{2}}{2g}:
\frac{V^{2}}{2g} = \frac{(10,1859)^{2}}{2\cdot 9,81} \approx \frac{103,744}{19,62} \approx 5,2889\\ \text{m}.
Agora a perda de carga total:
h_{f} = 0,03094 \cdot 6000 \cdot 5,2889 \approx 981,8\\ \text{m}.
Interpretação: a perda de carga distribuída ao longo dos 300\\ \text{m} é enorme (cerca de 982\\ \text{m} de coluna d’água) — isso ocorre porque a velocidade é muito alta numa tubulação de diâmetro pequeno, gerando grande perda por atrito. Se fosse necessária a perda por metro, basta dividir por L:
\frac{h_{f}}{L} \approx \frac{981,8}{300} \approx 3,273\\ \text{m/m}.
Também a perda de carga em termos de pressão (Pa) pode ser obtida por \Delta p = \rho g h_{f} (com \rho\approx 1000\\ \text{kg/m}^3 para água), o que daria \Delta p \approx 9,62\times 10^{6}\\ \text{Pa} (número muito alto), mas o enunciado pediu perda de carga (normalmente em metros de coluna d’água).

Passo 7

Resumo didático e dica para prova:
  • Principais passos que você deve lembrar para um exercício assim na prova: (1) converter unidades; (2) calcular A, depois V; (3) calcular \text{Re} e \varepsilon/D; (4) obter f (Colebrook iterativo ou Moody); (5) aplicar Darcy–Weisbach para h_{f}.
  • Se não der tempo para iterar Colebrook, use a fórmula explícita de Swamee–Jain como aproximação rápida.
  • Não se assuste com um resultado grande — significa que a combinação Q alto com D pequeno produz perda elevada; na prática aumentaria-se o diâmetro para reduzir a perda.

Resposta

h_{f} \approx 981{,}8\\ \text{m}

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