Questão 4. Um sistema de tubulação transporta óleo de densidade relativa 870 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e consiste em um tubo de 50 m de comprimento e 10 cm de diâmetro. O sistema inclui uma válvula gaveta totalmente aberta ( K=0,2 ) e duas curvas de 90^{\circ}\left(K=0,9\right. cada). Se a vazão é de 0,05 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e o fator de atrito 0,02 , qual é a perda de carga total no sistema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Densidade do óleo: \rho = 870\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Comprimento do tubo: L = 50\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do tubo: D = 0,10\\ \mathrm{m}.
  • Válvula gaveta (totalmente aberta): K_{\text{válvula}} = 0,2á.
  • Duas curvas de 90^\circ: cada uma K_{\text{curva}} = 0,9.
  • Vazão volumétrica: Q = 0,05\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Fator de atrito (de Darcy): f = 0,02.
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (valor padrão).
O enunciado pede:
  • Qual é a perda de carga total no sistema?
Observação sobre unidade pedida: o enunciado não especifica unidade; então vou calcular a perda de carga em metros de coluna de fluido ( \mathrm{m}) e também converter para perda de pressão em pascal ( \mathrm{Pa}), para ficar completo.

Passo 2

Plano e fórmulas que vou usar (explicadas pedagogicamente).
Para escoamento em tubos a perda de carga total é a soma da perda por atrito ao longo do comprimento do tubo (perda “májor”) e das perdas localizadas (válvulas, curvas, etc.), que se calculam por coeficientes K.
Fórmulas principais:
  • Velocidade média no tubo:
V=\frac{Q}{A},
onde V é a velocidade média ( \mathrm{m}/\mathrm{s}), Q a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e A a área da seção transversal ( \mathrm{m}^2).
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde D é o diâmetro do tubo ( \mathrm{m}).
  • Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach), em metros de coluna:
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito adimensional, L/D é o número de diâmetros ao longo do tubo, V^2/(2g) é a “cabeça dinâmica” (energia por unidade de peso).
  • Perdas localizadas (cada elemento com coeficiente K_i):
h_{\text{loc}} = \sum_i K_i \cdot \frac{V^2}{2g}.
  • Perda de carga total (em metros):
h_{\text{tot}} = \left(f\frac{L}{D} + \sum_i K_i\right)\cdot\frac{V^2}{2g}.
  • Conversão para perda de pressão:
\Delta p = \rho g h_{\text{tot}},
onde \Delta p tem unidades de pascal ( \mathrm{Pa}).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, explicando cada variável enquanto faço as contas.

Passo 3

Calcular a área da seção e a velocidade média.
Área:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi\,(0,10)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0,01}{4}=\pi\cdot 0,0025\approx 0,00785398\\ \mathrm{m}^2.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0,05}{0,00785398}\approx 6,3661977\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Interpretação: V é a velocidade média do óleo que passa pelo tubo; se a seção é pequena, para uma mesma vazão Q a velocidade é alta — aqui deu cerca de 6{,}37\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a cabeça dinâmica \dfrac{V^2}{2g}, que aparece em todas as perdas.
Primeiro V^2:
V^2 \approx (6,3661977)^2 \approx 40,528.
Agora a cabeça dinâmica:
\frac{V^2}{2g}=\frac{40,528}{2\cdot 9,81}=\frac{40,528}{19,62}\approx 2,06594\\ \mathrm{m}.
Interpretação: \dfrac{V^2}{2g} é a altura equivalente da energia cinética do escoamento; todas as perdas são proporcionais a esse termo multiplicado por fatores adimensionais.

Passo 5

Calcular contribuição do atrito ao longo do tubo (parte “maior”).
Calcule f\frac{L}{D}:
f\frac{L}{D}=0,02\cdot\frac{50}{0,10}=0,02\cdot 500=10.
Portanto a perda por atrito em metros:
h_f = 10\cdot\frac{V^2}{2g}=10\cdot 2,06594\approx 20,6594\\ \mathrm{m}.
Explicação: o fator f multiplicado por L/D dá quantos “coeficientes” de perda por diâmetro existem no tubo; aqui resultou em 10, então a perda por atrito equivale a 10 vezes a cabeça dinâmica.

Passo 6

Calcular as perdas localizadas (válvula + 2 curvas).
Somatório dos K_i:
\sum_i K_i = K_{\text{válvula}} + 2\cdot K_{\text{curva}} = 0,2 + 2\cdot 0,9 = 0,2 + 1,8 = 2,0.á
Perda localizada em metros:
h_{\text{loc}} = \left(\sum_i K_i\right)\cdot\frac{V^2}{2g}=2,0\cdot 2,06594\approx 4,13188\\ \mathrm{m}.
Interpretação: as perdas nas peças somam outras 2,0 vezes a cabeça dinâmica.

Passo 7

Somar as perdas para obter a perda de carga total (em metros).
Usando a forma compacta:
h_{\text{tot}}=\left(f\frac{L}{D}+\sum_i K_i\right)\cdot\frac{V^2}{2g}=(10+2,0)\cdot 2,06594=12\cdot 2,06594\approx 24,7913\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda total é cerca de 24{,}79\\ \mathrm{m} de coluna de óleo.

Passo 8

Converter a perda de carga (altura) em perda de pressão \Delta p.
Fórmula:
\Delta p = \rho g h_{\text{tot}}.
Cálculo:
\Delta p = 870\cdot 9,81\cdot 24,7913 \approx 8534,7\cdot 24,7913 \approx 211\,586\\ \mathrm{Pa}\approx 2,12\times 10^5\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: isso significa que, para manter a vazão dada, a bomba (ou a diferença de nível) precisa superar uma queda de pressão da ordem de 2,12\cdot 10^5\\ \mathrm{Pa} ao longo do trecho.

Resposta

Perda de carga total: 24,79\\ \mathrm{m}
Perda de pressão equivalente: \Delta p \approx 2,12\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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