Questão 2

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O processo de fundição centrífuga horizontal verdadeira é usado para produzir buchas de latão com as seguintes dimensões: comprimento =10 \mathrm{~cm}, diâmetro externo =15 \mathrm{~cm} e diâmetro interno =12 \mathrm{~cm}. (a) Determine a velocidade de rotação requerida de forma a obter um fator-G de 70. (b) Operando a essa velocidade, qual a força centrífuga por metro quadrado imposta ao metal fundido na parede interna do molde? A massa específica do latão é 8,62 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3.

Passo 1

Vou descrever com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, aplicando exatamente as regras do enunciado. Dados fornecidos:
  • comprimento da bucha: 10\\ \text{cm} (não vai ser usado diretamente para as contas pedidas, mas está no enunciado);
  • diâmetro externo: 15\\ \text{cm} (raio externo =7{,}5\\ \text{cm});
  • diâmetro interno: 12\\ \text{cm} (raio interno =6\\ \text{cm});
  • massa específica do latão: 8{,}62\\ \text{g/cm}^3.
    Perguntas:
    (a) Determine a velocidade de rotação requerida para obter um fator-G de 70 na parede interna do molde (isto é, no raio correspondente ao diâmetro interno).
    (b) Operando nessa velocidade, qual é a força centrífuga por metro quadrado imposta ao metal fundido na parede interna do molde? Observação: a força por metro quadrado é uma pressão (N/m ^2) aplicada na parede pela massa do metal em rotação.

Passo 2

Conversão de unidades e definições numéricas úteis (colocar tudo no SI para as contas):
  • raio interno (onde queremos o fator-G): r = 6\\ \text{cm} = 0{,}06\\ \text{m}.
  • massa específica do latão: \rho = 8{,}62\\ \text{g/cm}^3 = 8{,}62\times 10^{3}\\ \text{kg/m}^3 = 8620\\ \text{kg/m}^3.
  • aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
    Vou usar estas quantidades nas fórmulas a seguir.

Passo 3

Entendendo o fator-G e a relação com velocidade angular.
O fator-G é a razão entre a aceleração centrífuga no ponto considerado e a aceleração gravitacional g. A aceleração centrífuga (radial) para um ponto que gira com velocidade angular \omega a uma distância r do eixo é
a_{\text{c}}=\omega^{2}r.
Portanto o fator-G G é
G=\frac{a_{\text{c}}}{g}=\frac{\omega^{2}r}{g}.
No enunciado queremos G=70 no raio r=0{,}06\\ \text{m}. Essa fórmula é a chave para (a).

Passo 4

Isolando \omega a partir de G=\dfrac{\omega^{2}r}{g}. Temos
\omega^{2}=\frac{G\,g}{r},
\omega=\sqrt{\frac{G\,g}{r}}.
Substituindo G=70, g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 e r=0{,}06\\ \text{m}:
\omega=\sqrt{\frac{70\cdot 9{,}81}{0{,}06}}.

Passo 5

Cálculo numérico de \omega. Primeiro calcule o numerador:
70\cdot 9{,}81 = 686{,}7.
Dividindo por 0{,}06:
\frac{686{,}7}{0{,}06}=11445.
Logo
\omega=\sqrt{11445}\approx 106{,}98\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Converter \omega (rad/s) para revoluções por minuto (rpm), porque normalmente a velocidade de rotação é pedida em rpm. Relação:
n\\ (\text{rev/s})=\frac{\omega}{2\pi},\qquad n_{\text{rpm}}=60\cdot n.
Portanto
n=\frac{106{,}98}{2\pi}\approx 17{,}037\\ \text{rev/s},
n_{\text{rpm}}=17{,}037\cdot 60\approx 1022{,}2\\ \text{rpm}.

Passo 7

Agora partimos para a parte (b): calcular a força centrífuga por metro quadrado imposta ao metal fundido na parede interna. Interpretação física: a pressão radial exercida por um líquido (ou metal fundido) em rotação, a uma distância r do eixo, é dada pela distribuição de pressão em equilíbrio rotacional. A relação diferencial é
\frac{dp}{dr}=\rho \,\omega^{2} r,
porque uma casquinha de fluido em equilíbrio radial sente a força de massa \rho\,dV vezes a aceleração \omega^2 r. Integrando essa equação desde o eixo (ou alguma referência) obtemos a expressão padrão para a pressão como função do raio:
p(r)=p(0)+\int_{0}^{r}\rho\,\omega^{2} r'\,dr' = p(0)+\frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2}.
Se tomarmos a referência p(0)=0 (a diferença de pressão relevante é a que age sobre a parede), a pressão na parede interna (a r=0{,}06\\ \text{m}) é
p=\frac{1}{2}\rho\,\omega^{2} r^{2}.
Essa p tem unidade de N/m ^2 (Pa) e é exatamente a força por metro quadrado que a parede sofre.

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula de pressão:
Usamos \rho=8620\\ \text{kg/m}^3, \omega\approx 106{,}98\\ \text{rad/s} e r=0{,}06\\ \text{m}.
Primeiro calcule \omega^{2}r^{2}:
\omega^{2}r^{2}=11445\cdot (0{,}06)^{2}=11445\cdot 0{,}0036 \approx 41{,}202.
Então
p=\frac{1}{2}\rho\,\omega^{2}r^{2}=\frac{1}{2}\cdot 8620\cdot 41{,}202\approx 20{,}601\cdot 8620\approx 177{,}6\times 10^{3}\\ \text{N/m}^{2}.
Arredondando de forma razoável:
p\approx 1{,}78\times 10^{5}\\ \text{N/m}^{2}\\ (\text{Pa}),
ou seja aproximadamente 178\\ \text{kPa}.

Passo 9

Checagem rápida de ordens de grandeza (sanity check): fator-G de 70 é bem alto, mas não absurdo para fundição centrífuga; a pressão calculada de cerca de 1{,}8 bar faz sentido para empurrar o metal contra a parede do molde. Os números batem com as fórmulas usadas.

Resposta

(a) n\approx 1022{,}2\\ \text{rpm}
(b) p\approx 1{,}78\times 10^{5}\\ \text{N/m}^{2}

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