Questão 2
Ainda não respondida
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O processo de fundição centrífuga horizontal verdadeira é usado para produzir buchas de latão com as seguintes dimensões: comprimento
, diâmetro externo
e diâmetro interno
. (a) Determine a velocidade de rotação requerida de forma a obter um fator-G de 70. (b) Operando a essa velocidade, qual a força centrífuga por metro quadrado imposta ao metal fundido na parede interna do molde? A massa específica do latão é
.
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Passo 1
Vou descrever com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, aplicando exatamente as regras do enunciado. Dados fornecidos:
- comprimento da bucha:
(não vai ser usado diretamente para as contas pedidas, mas está no enunciado); - diâmetro externo:
(raio externo ); - diâmetro interno:
(raio interno ); - massa específica do latão:
.
Perguntas:
(a) Determine a velocidade de rotação requerida para obter um fator-G dena parede interna do molde (isto é, no raio correspondente ao diâmetro interno).
(b) Operando nessa velocidade, qual é a força centrífuga por metro quadrado imposta ao metal fundido na parede interna do molde? Observação: a força por metro quadrado é uma pressão (N/m) aplicada na parede pela massa do metal em rotação.
Passo 2
Conversão de unidades e definições numéricas úteis (colocar tudo no SI para as contas):
- raio interno (onde queremos o fator-G):
. - massa específica do latão:
. - aceleração da gravidade:
.
Vou usar estas quantidades nas fórmulas a seguir.
Passo 3
Entendendo o fator-G e a relação com velocidade angular.
O fator-G é a razão entre a aceleração centrífuga no ponto considerado e a aceleração gravitacional . A aceleração centrífuga (radial) para um ponto que gira com velocidade angular
a uma distância
do eixo é
O fator-G é a razão entre a aceleração centrífuga no ponto considerado e a aceleração gravitacional
Portanto o fator-G
é
No enunciado queremos
no raio
. Essa fórmula é a chave para (a).
Passo 4
Isolando
a partir de
. Temos
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Cálculo numérico de
. Primeiro calcule o numerador:
Dividindo por
:
Logo
Passo 6
Converter
(rad/s) para revoluções por minuto (rpm), porque normalmente a velocidade de rotação é pedida em rpm. Relação:
Portanto
Passo 7
Agora partimos para a parte (b): calcular a força centrífuga por metro quadrado imposta ao metal fundido na parede interna. Interpretação física: a pressão radial exercida por um líquido (ou metal fundido) em rotação, a uma distância
do eixo, é dada pela distribuição de pressão em equilíbrio rotacional. A relação diferencial é
porque uma casquinha de fluido em equilíbrio radial sente a força de massa
vezes a aceleração
. Integrando essa equação desde o eixo (ou alguma referência) obtemos a expressão padrão para a pressão como função do raio:
Se tomarmos a referência
(a diferença de pressão relevante é a que age sobre a parede), a pressão na parede interna (a
) é
Essa
tem unidade de N/m
(Pa) e é exatamente a força por metro quadrado que a parede sofre.
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula de pressão:
Usamos ,
e
.
Primeiro calcule :
Usamos
Primeiro calcule
Então
Arredondando de forma razoável:
ou seja aproximadamente
.
Passo 9
Checagem rápida de ordens de grandeza (sanity check): fator-G de 70 é bem alto, mas não absurdo para fundição centrífuga; a pressão calculada de cerca de
bar faz sentido para empurrar o metal contra a parede do molde. Os números batem com as fórmulas usadas.
Resposta
(a)
(b)
(b)