O braço de ligação de uma forja é conectado por pinos a guias como mostrado. Determine a máxima carga P que o braço pode carregar sem flambar. Use um fator de segurança de 1,75 . Considere módulo de elasticidade igual a 200 GPa e tensão de escoamento de 703 MPa .

Passo 1

O exercício pede: determinar a máxima carga P que o braço pode suportar sem flambar, usando fator de segurança igual a 1,75. Dados fornecidos (retirados da figura e do enunciado):
L=600\\ \text{mm},\quad E=200\\ \text{GPa}=200\times10^{9}\\ \text{Pa},\quad \sigma_{y}=703\\ \text{MPa}=703\times10^{6}\\ \text{Pa},
a seção transversal é retangular com dimensões (pela figura)
b=36\\ \text{mm},\quad h=12\\ \text{mm},
o apoio em ambas as extremidades é por pinos (ou seja, condições de contorno que permitem rotação nas duas extremidades). Fator de segurança:
\text{FS}=1,75.

Passo 2

Decidimos usar a fórmula de flambagem de Euler para coluna com extremidades engastadas em pino–pino (veremos e justificaremos depois). Primeiro calculamos a área e o momento de inércia da seção retangular (explico as fórmulas e o significado das variáveis). Para uma seção retangular com largura b e altura h (altura no sentido da pequena dimensão, que domina a flambagem), temos:
A=b\cdot h,
I=\frac{b\,h^{3}}{12},
onde A é a área da seção transversal e I é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado b. Aqui escolhemos h=12\\ \text{mm} (a menor dimensão) porque a flambagem ocorre no plano que torna a rigidez de flexão menor. Agora calculamos numericamente (converto mm para m para consistência do SI: 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}):
A = 36\\ \text{mm}\times12\\ \text{mm}=432\\ \text{mm}^{2}=432\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}=4,32\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
I=\frac{36\,(12)^{3}}{12}\\ \text{mm}^{4}=5184\\ \text{mm}^{4}=5184\times10^{-12}\\ \text{m}^{4}=5,184\times10^{-9}\\ \text{m}^{4}.

Passo 3

Agora calculamos o raio de giração r e a esbeltez \lambda (essas grandezas dizem quão “finita” é a barra e ajudam a verificar se o critério de Euler é aplicável). Definições e fórmulas:
r=\sqrt{\frac{I}{A}},
\lambda=\frac{K\,L}{r},
onde K é o fator de comprimento efetivo (para pino–pino K=1), e L é o comprimento da coluna. Calculando:
r=\sqrt{\frac{5{,}184\times10^{-9}}{4{,}32\times10^{-4}}}=\sqrt{1{,}2\times10^{-5}}\\ \text{m}=3{,}464\times10^{-3}\\ \text{m}=3{,}464\\ \text{mm}.
\lambda=\frac{1\cdot 0{,}600}{0{,}003464}=173{,}21\\ (\text{adimensional}).
Comentário didático rápido: quanto maior \lambda, mais esbelta a coluna e mais apropriado é usar a fórmula de Euler (flambagem elástica). Para confirmar a aplicabilidade do critério de Euler (ou seja, que a flambagem será elástica e não controlada pelo escoamento plástico), comparamos \lambda com a esbeltez crítica \lambda_{c} dada por (fórmula usada em problemas de estabilidade):
\lambda_{c}=\sqrt{\frac{2\pi^{2}E}{\sigma_{y}}}.
Calculando:
\lambda_{c}=\sqrt{\frac{2\pi^{2}\cdot200\times10^{9}}{703\times10^{6}}}=\sqrt{5616{,}4}=74{,}96.
Como \lambda=173{,}21>\lambda_{c}=74{,}96, a flambagem é elástica e a fórmula de Euler é válida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem de uma coluna com fator de comprimento K:
P_{cr}=\frac{\pi^{2}E I}{(K L)^{2}}.
Aqui K=1, L=0{,}600\\ \text{m}, E=200\times10^{9}\\ \text{Pa} e I=5{,}184\times10^{-9}\\ \text{m}^{4}. Calculemos:
P_{cr}=\frac{\pi^{2}\cdot200\times10^{9}\cdot5{,}184\times10^{-9}}{(0{,}600)^{2}}.
Faço a conta passo a passo: primeiro E I=200\times10^{9}\cdot5{,}184\times10^{-9}=1036{,}8 (unidade \text{N}\cdot\text{m}^{2}); depois \pi^{2}\approx9{,}8696 e (0{,}600)^{2}=0{,}36. Assim
P_{cr}=\frac{9{,}8696\cdot1036{,}8}{0{,}36}= \frac{10237{,}6}{0{,}36}=28438{,}9\\ \text{N}\approx2{,}844\times10^{4}\\ \text{N}.

Passo 5

Aplicamos o fator de segurança pedido: a máxima carga admissível (para prevenir flambagem com FS=1,75) é
P_{\max}=\frac{P_{cr}}{\text{FS}}=\frac{28438{,}9}{1{,}75}=16250{,}8\\ \text{N}\approx1{,}625\times10^{4}\\ \text{N}.

Passo 6

Verificações finais (sempre faça isso na prova para ter segurança): tensão de compressão sob P_{\max} e confirmação de que não há escoamento antes da flambagem.
Tensão média comprimida:
\sigma=\frac{P_{\max}}{A}=\frac{16250{,}8}{4{,}32\times10^{-4}}=37{,}64\times10^{6}\\ \text{Pa}=37{,}6\\ \text{MPa}.
Como \sigma=37{,}6\\ \text{MPa}\ll\sigma_{y}=703\\ \text{MPa}, não há escoamento antes da flambagem — ou seja, a flambagem elástica realmente controla. Portanto a resposta baseada em Euler é conservadora e válida.

Resposta

P_{\max}=1{,}625\times10^{4}\\ \text{N}=16{,}3\\ \text{kN}

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