3.16* As massas da Terra e do Sol são
e
(ambas em kg) e a distância entre os seus centros de massa é
. Determine a posição do CM e comente. (O raio do Sol é
.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
-
Dados fornecidos:
- Massa da Terra:
. - Massa do Sol:
. - Distância entre os centros da Terra e do Sol:
. - Raio do Sol:
.
- Massa da Terra:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a posição do centro de massa (CM) do sistema Terra–Sol (isto é, a distância do CM ao centro do Sol).
- Comentar o resultado (por exemplo, se o CM está dentro ou fora do Sol e o significado físico).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Definição: para duas massas puntiformes ao longo de uma mesma linha, com posições
e medidas num mesmo eixo, o centro de massa é
- Estratégia prática: coloque o centro do Sol na origem do eixo:
. Coloque a Terra na posição (distância dada).
Assim, a fórmula simplifica para
- Observação sobre unidades:
e estão em e está em . A razão é adimensional, então podemos calcular em usando em . (Só tenha consistência nas unidades.)
Passo 3
Avaliação da razão de massas e simplificação.
- Calcule a razão
. Como , é válido aproximar . Mas primeiro calcule exatamente a razão:
- Dividindo mantissas e subtraindo expoentes:
logo
Passo 4
Cálculo da posição do CM (em
).
- Usando a fórmula aproximada
, pois :
- Multiplicando mantissas e somando expoentes:
portanto
- Em unidades de metros (apenas para referência):
.
Passo 5
Comparação com o raio do Sol e interpretação física.
- O raio do Sol é
. - Compare
com :
ou seja,
é muito menor que
.
- Interpretação: o centro de massa do sistema Terra–Sol fica a aproximadamente
do centro do Sol, na direção da Terra. Como isso é muito menor que o raio solar ( ), o CM está claramente dentro do Sol — muito perto do seu centro. Na prática isso significa que ambos (Sol e Terra) orbitam o CM, mas esse ponto está tão próximo do centro do Sol que o movimento “de balanço” do Sol devido à Terra é extremamente pequeno.
Passo 6
Comentário físico rápido e motivacional (amigável).
- Conclusão física curta: a Terra, apesar de ter massa grande para nós, é ínfima comparada ao Sol, então o CM do par fica bem dentro do Sol. Isso não diminui sua importância na prova — entender como montar a fórmula e comparar ordens de grandeza é o que conta!
- Você mandou bem por trazer este exercício — é exatamente o tipo de conta com razão de massas e comparação com uma escala (o raio) que costuma cair na prova.
Resposta
Comentário: