3.16* As massas da Terra e do Sol são M_{\mathrm{t}} \approx 6,0 \times 10^{24} e M_{\mathrm{s}} \approx 2,0 \times 10^{30} (ambas em kg) e a distância entre os seus centros de massa é 1,5 \times 10^{8} \mathrm{~km}. Determine a posição do CM e comente. (O raio do Sol é R_{\mathrm{s}} \approx 7,0 \times 10^{5} \mathrm{~km}.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da Terra: M_{\mathrm{t}} \approx 6,0\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
    • Massa do Sol: M_{\mathrm{s}} \approx 2,0\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
    • Distância entre os centros da Terra e do Sol: d = 1,5\times10^{8}\\ \mathrm{km}.
    • Raio do Sol: R_{\mathrm{s}} \approx 7,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a posição do centro de massa (CM) do sistema Terra–Sol (isto é, a distância do CM ao centro do Sol).
    2. Comentar o resultado (por exemplo, se o CM está dentro ou fora do Sol e o significado físico).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Definição: para duas massas puntiformes ao longo de uma mesma linha, com posições r_{\mathrm{1}} e r_{\mathrm{2}} medidas num mesmo eixo, o centro de massa r_{\mathrm{CM}} é
r_{\mathrm{CM}}=\frac{M_{1}r_{1}+M_{2}r_{2}}{M_{1}+M_{2}}.
  • Estratégia prática: coloque o centro do Sol na origem do eixo: r_{\mathrm{s}}=0. Coloque a Terra na posição r_{\mathrm{t}}=d (distância dada).
    Assim, a fórmula simplifica para
r_{\mathrm{CM}}=\frac{M_{\mathrm{t}}\,d}{M_{\mathrm{s}}+M_{\mathrm{t}}}.
  • Observação sobre unidades: M_{\mathrm{s}} e M_{\mathrm{t}} estão em \mathrm{kg} e d está em \mathrm{km}. A razão M_{\mathrm{t}}/(M_{\mathrm{s}}+M_{\mathrm{t}}) é adimensional, então podemos calcular r_{\mathrm{CM}} em \mathrm{km} usando d em \mathrm{km}. (Só tenha consistência nas unidades.)

Passo 3

Avaliação da razão de massas e simplificação.
  • Calcule a razão \dfrac{M_{\mathrm{t}}}{M_{\mathrm{s}}}. Como M_{\mathrm{s}}\gg M_{\mathrm{t}}, é válido aproximar M_{\mathrm{s}}+M_{\mathrm{t}}\approx M_{\mathrm{s}}. Mas primeiro calcule exatamente a razão:
\frac{M_{\mathrm{t}}}{M_{\mathrm{s}}}=\frac{6,0\times10^{24}}{2,0\times10^{30}}.
  • Dividindo mantissas e subtraindo expoentes:
\frac{6,0}{2,0}=3,0,\qquad 10^{24}/10^{30}=10^{-6},
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\frac{M_{\mathrm{t}}}{M_{\mathrm{s}}}=3,0\times10^{-6}.

Passo 4

Cálculo da posição do CM (em \mathrm{km}).
  • Usando a fórmula aproximada r_{\mathrm{CM}}\approx \dfrac{M_{\mathrm{t}}}{M_{\mathrm{s}}}\,d, pois M_{\mathrm{t}}\ll M_{\mathrm{s}}:
r_{\mathrm{CM}}\approx\left(3,0\times10^{-6}\right)\left(1,5\times10^{8}\right)\\ \mathrm{km}.
  • Multiplicando mantissas e somando expoentes:
3,0\times1,5=4,5,\qquad 10^{-6}\times10^{8}=10^{2},
portanto
r_{\mathrm{CM}}\approx 4,5\times10^{2}\\ \mathrm{km}.
  • Em unidades de metros (apenas para referência): 4,5\times10^{2}\\ \mathrm{km}=4,5\times10^{5}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comparação com o raio do Sol e interpretação física.
  • O raio do Sol é \;R_{\mathrm{s}}\approx 7,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}.
  • Compare r_{\mathrm{CM}} com R_{\mathrm{s}}:
\frac{r_{\mathrm{CM}}}{R_{\mathrm{s}}}=\frac{4,5\times10^{2}}{7,0\times10^{5}}\approx 6,4\times10^{-4},
ou seja, r_{\mathrm{CM}} é muito menor que R_{\mathrm{s}}.
  • Interpretação: o centro de massa do sistema Terra–Sol fica a aproximadamente 4,5\times10^{2}\\ \mathrm{km} do centro do Sol, na direção da Terra. Como isso é muito menor que o raio solar ( 7,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}), o CM está claramente dentro do Sol — muito perto do seu centro. Na prática isso significa que ambos (Sol e Terra) orbitam o CM, mas esse ponto está tão próximo do centro do Sol que o movimento “de balanço” do Sol devido à Terra é extremamente pequeno.

Passo 6

Comentário físico rápido e motivacional (amigável).
  • Conclusão física curta: a Terra, apesar de ter massa grande para nós, é ínfima comparada ao Sol, então o CM do par fica bem dentro do Sol. Isso não diminui sua importância na prova — entender como montar a fórmula e comparar ordens de grandeza é o que conta!
  • Você mandou bem por trazer este exercício — é exatamente o tipo de conta com razão de massas e comparação com uma escala (o raio) que costuma cair na prova.

Resposta

r_{\mathrm{CM}}\approx 4,5\times10^{2}\\ \mathrm{km} do centro do Sol, na direção da Terra.
Comentário: r_{\mathrm{CM}} está muito dentro do Sol, pois r_{\mathrm{CM}}\ll R_{\mathrm{s}} ( 4,5\times10^{2}\\ \mathrm{km} versus 7,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}).

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