Questão 3: No alto de um edifício com 36 m de largura por 36 m de comprimento e 42 m de altura há uma torre centralizada de 12 m de largura por 12 m de comprimento e 7 m de altura. Todo edificio e a torre são de alvenaria e ambos tetos planos e não metálicos. O nível de proteção é classe III. Determine:
a) subsistema de captação pelo método do ângulo de proteção ( 0,5 ponto)
b) subsistema de captação pelo método da esfera rolante ( 0,5 ponto)
c) subsistema de captação pelo método das malhas ( 0,5 ponto)
d) subsistema de descida (0,5 ponto)
e) subsistema de aterramento (0,5 ponto)
Nota 1: para o subsistema de captação, considerar apenas a primeira aproximação.
Nota 2: utilize mastros de 6 m .
Nota 3: para o subsistema de descida, ignorar a posição de portas e janelas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • Dimensões do edifício (planta retangular):
    • Comprimento =36\\ \text{m}
    • Largura =36\\ \text{m}
    • Altura do teto (cobertura) =42\\ \text{m}
  • Torre (centralizada sobre o edifício):
    • Comprimento =12\\ \text{m}
    • Largura =12\\ \text{m}
    • Altura =7\\ \text{m} (acima do teto do edifício)
  • Ambos tetos planos, alvenaria, não metálicos.
  • Nível de proteção: classe III (ou seja, nível de proteção \text{LPL III}).
  • Nota: usar mastros de 6\\ \text{m} (cada mastro tem altura 6\\ \text{m}).
  • Para subsistema de captação considerar apenas a primeira aproximação.
  • Para descida, ignorar posição de portas/janelas.
  • O que o enunciado pede que determinemos:
    a) subsistema de captação pelo método do ângulo de proteção;
    b) subsistema de captação pelo método da esfera rolante;
    c) subsistema de captação pelo método das malhas;
    d) subsistema de descida;
    e) subsistema de aterramento.

Passo 2

Explicação didática e fórmula do método do ângulo de proteção (para eu e você entenderem antes de aplicar).
  • Ideia: um terminal aéreo (mastros, hastes) protege uma zona sob um “cone” definido por um ângulo \alpha (medido a partir da vertical do topo do terminal). No plano horizontal a proteção corresponde a um raio r em torno da projeção vertical do ponto do terminal no teto.
  • Fórmula (primeira aproximação usada na prova): r = h \cdot \tan(\alpha)onde:
    • h é a altura do topo do mastro acima da superfície que se quer proteger (aqui, normalmente h=6\\ \text{m} porque o mastro tem 6\\ \text{m} sobre a laje);
    • \alpha é o ângulo de proteção relativo ao nível de proteção ( \text{LPL}).
  • Valores usuais de \alpha por nível de proteção (tabela padrão simplificada usada em primeira aproximação):
    • \text{LPL I}: \alpha = 20^\circ
    • \text{LPL II}: \alpha = 30^\circ
    • \text{LPL III}: \alpha = 45^\circ
    • \text{LPL IV}: \alpha = 60^\circ
      (essas são as escolhas usuais em exercícios e na NBR/IEC em primeira aproximação).
  • Para \text{LPL III} nos interessa \alpha=45^\circ. Logo \tan(45^\circ)=1\quad\Rightarrow\quad r = h.Portanto, com mastros de 6\\ \text{m} (altura útil h=6\\ \text{m}) cada mastro protege radialmente r=6\\ \text{m} ao redor da sua projeção.

Passo 3

Aplicação prática do método do ângulo de proteção ao edifício (cálculos e posicionamento).
  • Objetivo: cobrir a laje do edifício 36\times36\\ \text{m} e a torre central 12\times12\\ \text{m}.
  • Com \text{LPL III} e mastros h=6\\ \text{m} vimos que cada mastro cobre r=6\\ \text{m}.
  • Para garantir cobertura contínua na laje plana, as projeções circulares de raio 6\\ \text{m} não podem deixar “buracos”. Uma regra prática simples (primeira aproximação) é espaçar os mastros de modo que a distância entre centros vizinhos não exceda 2r=12\\ \text{m}. Assim garantimos sobreposição das áreas circulares.
  • Cálculo do número de mastros em grid sobre a laje:
    • Em uma direção (36 m): número de intervalos de 12\\ \text{m} é 36/12=3. Isso corresponde a 3 intervalos, portanto 3+1=4 linhas de mastros ao longo de uma direção. Igual na outra direção -> grid 4\times4.
    • Total de mastros sobre a laje (primeira aproximação): 4\times4=16 mastros.
  • Torre central: a torre está centrada. Podemos colocar um mastro sobre o topo da torre (um único mastro de 6\\ \text{m}) para proteger o topo da torre; como a torre está mais elevada ( 7\\ \text{m} acima da laje), esse mastro fica no ponto mais alto do conjunto.
  • Resultado prático (ângulo de proteção, primeira aproximação): 16 mastros distribuídos em grid sobre a laje (espacamento \le 12\\ \text{m} entre mastros) + 1 mastro no topo da torre. Total = 17 mastros. Posicionamento sugerido: linhas em x=0,\\\ 12,\\\ 24,\\\ 36 e y=0,\\\ 12,\\\ 24,\\\ 36 medidas a partir de um canto (ou análogo centralizado), com o mastro da torre no centro.
Observação didática final: o método do ângulo tende a pedir muitos mastros quando os mastros são curtos (aqui 6\\ \text{m} só protege 6\\ \text{m} de raio). É conservador e fácil de aplicar na prova.

Passo 4

Explicação didática e aplicação do método da esfera rolante (rolling sphere).
  • Ideia: imagina-se uma esfera de raio R que “rola” sobre a geometria externa da edificação; os pontos que a esfera consegue tocar são regiões que podem ser atingidas por um impacto de raio focal; os pontos que ficam “sob” a esfera quando ela toca um elemento protetor (mastros, cantos elevados) estão protegidos. O método é geométrico e muitas vezes fornece menos terminais que o método do ângulo.
  • Valores usuais do raio R por nível de proteção (tabela padrão em primeira aproximação):
    • \text{LPL I}: R=20\\ \text{m}
    • \text{LPL II}: R=30\\ \text{m}
    • \text{LPL III}: R=45\\ \text{m}
    • \text{LPL IV}: R=60\\ \text{m}
  • Para \text{LPL III} usaremos R=45\\ \text{m}.
  • Aplicação numérica (primeira aproximação, mastro no topo da torre):
    • Coordenadas úteis (tomando o centro da laje como origem):
      • canto da laje: (\pm 18,\\ \pm 18) em metros, altura z=42\\ \text{m}.
      • topo da torre sem mastro: altura 42+7=49\\ \text{m}.
      • mastro de 6\\ \text{m} no topo da torre tem ponta a 49+6=55\\ \text{m}.
    • Distância do topo do mastro (centro do edifício) até um canto da laje:
      • distância horizontal do centro até o canto: d_h = \sqrt{18^2+18^2} = \sqrt{648} \approx 25{,}456\\ \text{m}.
      • diferença de altura entre ponta do mastro e canto da laje: \Delta z = 55 - 42 = 13\\ \text{m}.
      • distância espacial: d = \sqrt{d_h^2 + (\Delta z)^2} = \sqrt{25{,}456^2 + 13^2}\approx 28{,}6\\ \text{m}.
    • Como d \approx 28{,}6\\ \text{m} < R(=45\\ \text{m}), a ponta do mastro central “vence” a esfera de 45\\ \text{m} em relação aos cantos: isso indica que, com um mastro central (no topo da torre), a esfera rolante de 45\\ \text{m} não consegue tocar pontos mais altos que a ponta do mastro sem primeiro tocar o mastro — em outras palavras, a ponta do mastro protege os cantos e, por extensão, toda a laje em primeira aproximação.
  • Conclusão prática (esfera rolante): com \text{LPL III} e mastro de 6\\ \text{m} colocado no topo da torre central, uma única haste protege a cobertura inteira na primeira aproximação. Portanto subsistema de captação pelo método da esfera rolante: 1 mastro de 6\\ \text{m} no topo da torre (ponta centrada).
Observação didática: o rolling sphere em geral requer menos terminais quando existe um ponto significativamente mais alto (aqui a torre com mastro). Por isso só um mastro central já garante a proteção na primeira aproximação.

Passo 5

Explicação didática e aplicação do método das malhas (mesh method).
  • Ideia: a proteção é obtida por uma malha de condutores de captação sobre a cobertura formando uma “grelha” que cria uma gaiola de Faraday parcial; a malha tem espaçamento máximo s que depende do nível de proteção.
  • Valores típicos de espaçamento s por LPL (primeira aproximação usual):
    • \text{LPL I}: s \le 5\\ \text{m}
    • \text{LPL II}: s \le 7{,}5\\ \text{m}
    • \text{LPL III}: s \le 10\\ \text{m}
    • \text{LPL IV}: s \le 15\\ \text{m}
  • Para \text{LPL III} adotamos s=10\\ \text{m} (valor padrão em primeira aproximação).
  • Para a laje 36\times36\\ \text{m}:
    • Número de intervalos em cada direção: \lceil 36 / 10\rceil = \lceil 3{,}6\rceil = 4 intervalos.
    • Assim número de condutores paralelos em cada direção = intervalos +1 = 5.
    • Logo teremos 5 condutores na direção x e 5 na direção y. Em termos práticos, isso é uma malha 5\times5 com 25 nós; porém os condutores efetivos são 5+5=10 correntes longas (5 em cada sentido) interligadas, mais o condutor perimetral de anel.
  • Torre central: como a torre está no centro, a malha sobre a laje já envolve a base da torre; é recomendável contornar a torre com um anel de captadores e ligar o anel à malha para garantir que o topo da torre esteja corretamente ligado à malha por captação local (ou complementar com 1 mastro pequeno se necessário).
  • Resultado prático (malha): malha com espaçamento s=10\\ \text{m}, produzindo 5 condutores em cada direção (total prático de 10 condutores longitudinais interligados), mais condutor perimetral; ligação ao mastro da torre caso exista. Este arranjo protege a laje e a base da torre de acordo com \text{LPL III}.
Observação didática: a malha costuma ser uma solução econômica para coberturas extensas e planas; requer descidas e equipotencialização bem feitas.

Passo 6

Subsistema de descida (condutores de descida): explicação, regras práticas e proposta de localização.
  • Função: ligar cada condutor de captação (anéis, malha, mastros) ao sistema de aterramento por meio de condutores de descida distribuídos para evitar correntes de curto-circuito concentradas e minimizar diferença de potencial.
  • Regras práticas (primeira aproximação e recomendação típica):
    • Para edifícios de planta moderada a grande, ter pelo menos 4 descidas é regra mínima; para reduzir circulação de corrente por estruturas metálicas e obter melhor distribuição, usa-se mais descidas conforme a área.
    • Distância máxima recomendada entre descidas para \text{LPL III}: valores práticos variam, mas uma boa regra de projeto é manter espaçamento \le 20\\ \text{m} ao longo do perímetro/linha de contato com a malha.
  • Aplicação ao caso:
    • Perímetro do edifício é 4\times36 = 144\\ \text{m}. Com espaçamento \le 20\\ \text{m} precisaríamos ao menos \lceil 144 / 20\rceil = 8 descidas ao longo do perímetro para excelente distribuição. Porém, considerando que já temos malha com condutores espaçados e que há um mastro central na torre (que deve ter sua própria descida), uma solução prática e comum em primeira aproximação é:
      • Pelo menos 4 descidas principais, uma em cada canto do edifício, para ligação do condutor perimetral/malha;
      • Acrescentar 2 descidas adicionais (total 6) repartidas nos meios das faces (ou próximas à torre), para melhorar a distribuição e reduzir a impedância;
      • Descidas específicas ligadas diretamente ao mastro no topo da torre (pelo menos 1 descida dedicada).
    • Assim uma proposta prática e conservadora: 6 descidas distribuídas ao redor do perímetro (cantos + meios de faces) + 1 descida direta do mastro da torre (ponta do mastro ligada ao anel/malha e daí à descida). Total prático: 6 descentes de perímetro + 1 do mastro = 7 condutores de descida físicos (mas pode-se interligar alguns à malha conforme projeto).
  • Localização sugerida (primeira aproximação): um em cada canto ( 4), mais um no meio de duas faces opostas ( +2), e uma descida direta na projeção da torre (ou conectada ao anel perimetral imediatamente adjacente).
Observação didática: Em prova, normalmente é aceitável indicar “mínimo 4; recomendados 6” para um prédio desse porte; eu propus 6+1 para segurança e redundância.

Passo 7

Subsistema de aterramento: explicação didática, proposta construtiva e observações sobre cálculo.
  • Função: dissipar a corrente do raio para o solo, reduzir diferenças de potencial (touch and step voltages) e garantir baixa resistência de aterramento onde possível.
  • Objetivos práticos e norma: a NBR/IEC recomenda tornar a malha de aterramento do SPDA com resistência tão baixa quanto economicamente viável; uma referência prática comum é R_A \le 10\\ \Omega (valor objetivo frequentemente citado). Para dimensionar e garantir esse valor é preciso conhecer a resistividade do solo \rho — dado que o enunciado não fornece \rho, não podemos calcular numericamente a resistência final.
  • Projeto prático (solução padrão e recomendada para um edifício deste porte):
    1. Anel de aterramento (circular/perimetral) enterrado ao redor da fundação, condutor principal com seção adequada (por ex. cobre nu 50 mm² ou eletrodos equivalentes), enterrado a 0{,}5\text{–}0{,}7\\ \text{m} de profundidade, completamente interligado aos condutores de descida. O anel acompanha toda a planta 36\times36.
    2. Pontos de eletrodo verticais (hastes de cobre) cravadas ao solo: pelo menos 4 hastes de 3\\ \text{m} cada, espaçadas ao redor do anel (regra prática: espaçar 8–10 m entre hastes). Para maior certeza de atingir R_A desejado, usar 6 hastes de 3\\ \text{m} (ou mais) interligadas ao anel.
    3. Interligação (braiding) entre hastes, anel e descidas com condutor de seção adequada (por ex. cabo de cobre nu 50\\ \text{mm}^2 ou condutor conforme norma) para criar uma malha equipotencial.
    4. Se o solo tiver alta resistividade, usar melhoria do solo (backfill com carvão, salmoura, cimento-condutor) ou aumentar número/comprimento de hastes até atingir o valor alvo de R_A.
  • Fórmula pedagógica (resistência estimada de uma haste vertical isolada — só para entender por que \rho é necessário): R_{\text{h}} \approx \frac{\rho}{2\pi L}\left(\ln\!\left(\frac{4L}{d}\right) - 1\right),onde:
    • \rho é a resistividade do solo ( \Omega\cdot\text{m}),
    • L é o comprimento da haste ( \text{m}, ex.: 3\\ \text{m}),
    • d é o diâmetro da haste ( \text{m}).
      Sem \rho não dá para calcular R_h.
  • Conclusão prática (primeira aproximação proposta): anel perimetral de cobre 50\\ \text{mm}^2 enterrado a 0{,}7\\ \text{m}, 6 hastes verticais de 3\\ \text{m} cravadas e interligadas, todas as descidas conectadas ao anel; objetivo de projeto R_A \le 10\\ \Omega (ou o menor valor economicamente viável), checar com medição em obra e ajustar número de hastes / tratamento de solo se necessário.

Resposta

a) Método do ângulo de proteção (primeira aproximação): 17 mastros de 6\\ \text{m} — grid 4\times4 sobre a laje (16 mastros, espaçamento \le 12\\ \text{m}) mais 1 mastro no topo da torre (central).
b) Método da esfera rolante (primeira aproximação): 1 mastro de 6\\ \text{m} no topo da torre (ponta central) é suficiente para proteger toda a cobertura com R=45\\ \text{m} ( \text{LPL III}).
c) Método das malhas (primeira aproximação): malha de captação com espaçamento s=10\\ \text{m} ( \text{LPL III}), resultando em 5 condutores em cada direção (malha 5\times5 de nós, condutores totais práticos =10 + condutor perimetral), com anel perimetral e ligação à torre.
d) Subsistema de descida: recomendado pelo menos 6 descidas distribuídas ao perímetro (4 cantos + 2 nos meios de faces) mais 1 descida dedicada para o mastro da torre (total prático 7); mínimo aceitável 4 descidas, mas 6 é mais seguro para este prédio.
e) Subsistema de aterramento: anel perimetral enterrado (condutor de cobre nu, ex. 50\\ \text{mm}^2) a 0{,}5\text{–}0{,}7\\ \text{m}, interligado a pelo menos 6 hastes verticais de 3\\ \text{m} espaçadas ~8–10 m; todas as descidas ligadas ao anel. Objetivo de projeto: R_A \le 10\\ \Omega (medir em obra e ajustar número/comprimento de hastes ou usar melhoria de solo se necessário).

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