Questão 9 - Aplicação Quantitativa e Conceitual

Uma bola de 2 kg é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando a resistência do ar:
a) Calcule a energia cinética inicial.
b) Calcule a altura máxima atingida.
c) Explique como a conservação da energia mecânica pode ser observada nesse movimento.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados fornecidos:
  • Massa da bola: m=2\\ \text{kg}.
  • Velocidade inicial vertical para cima: v_0=10\\ \text{m/s}.
  • Desprezar resistência do ar (logo não há perda de energia por atrito com o ar).
  • Usar a aceleração da gravidade aproximada g=9,8\\ \text{m/s}^2 (se não for dado, adotamos este valor padrão).
Perguntas:
  • (a) Calcular a energia cinética inicial.
  • (b) Calcular a altura máxima atingida.
  • (c) Explicar como a conservação da energia mecânica pode ser observada nesse movimento.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — vou explicar passo a passo e o que cada símbolo significa.
Energia cinética: é a energia associada ao movimento de um corpo. A fórmula é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}
onde K é a energia cinética (em joules, \text{J}), m é a massa (em \text{kg}) e v é a velocidade (em \text{m/s}). Essa fórmula vem da integração da força resultante sobre um deslocamento; aqui vamos usá‑la diretamente.
Energia potencial gravitacional: para uma massa m a uma altura h acima de uma referência (geralmente o solo), a energia potencial é
U=m g h
onde U está em joules, g é a aceleração da gravidade (em \text{m/s}^2) e h em metros.
Energia mecânica total (quando só atuam forças conservativas como o peso):
E_m = K + U.
Se não há dissipação (como resistência do ar), E_m é constante no tempo: E_{m,\text{inicial}}=E_{m,\text{final}}.

Passo 3

(a) Calcular a energia cinética inicial.
Aplicamos a fórmula de energia cinética com m=2\\ \text{kg} e v=v_0=10\\ \text{m/s}:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m v_0^{2}.
Substituindo os valores:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^{2}.
Calcule passo a passo:
10^{2}=100, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot 2=1,
logo
K_{\text{inicial}}=1\cdot 100=100\\ \text{J}.
Portanto a energia cinética inicial é 100\\ \text{J}.

Passo 4

(b) Calcular a altura máxima atingida usando conservação de energia (método principal).
A ideia física: sem resistência do ar, toda a energia cinética inicial será transformada em energia potencial no ponto mais alto, onde a velocidade instantânea é zero ( K_{\text{topo}}=0). Assim
K_{\text{inicial}}+U_{\text{inicial}}=K_{\text{topo}}+U_{\text{topo}}.
Escolhemos referência de altura h=0 na posição de lançamento (então U_{\text{inicial}}=0). Como K_{\text{topo}}=0, fica
K_{\text{inicial}}=U_{\text{topo}}=m g h_{\max}.
Isolando h_{\max}:
h_{\max}=\frac{K_{\text{inicial}}}{m g}.
Substituindo K_{\text{inicial}}=100\\ \text{J}, m=2\\ \text{kg} e g=9,8\\ \text{m/s}^2:
h_{\max}=\frac{100}{2\cdot 9,8}.
Calcule:
2\cdot 9,8=19,6, \qquad h_{\max}=\frac{100}{19,6}\approx 5,1020408\\ \text{m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
h_{\max}\approx 5,10\\ \text{m}.

Passo 5

(b) Verificação alternativa por cinemática (checar o resultado com outra técnica).
A fórmula de cinemática para velocidade final em queda/subida constante é
v^{2}=v_0^{2}-2g h,
onde v é a velocidade ao atingir altura h. No topo v=0, então
0=v_0^{2}-2g h_{\max}\quad\Rightarrow\quad h_{\max}=\frac{v_0^{2}}{2g}.
Substituindo v_0=10\\ \text{m/s} e g=9,8\\ \text{m/s}^2:
h_{\max}=\frac{10^{2}}{2\cdot 9,8}=\frac{100}{19,6}\approx 5,1020408\\ \text{m},
o mesmo resultado obtido por energia. Boa sinal de coerência.

Passo 6

Checagem numérica da conservação de energia (show the numbers).
Tomando h_{\max}\approx 5,1020408\\ \text{m}, a energia potencial no topo é
U_{\text{topo}}=m g h_{\max}=2\cdot 9,8\cdot 5,1020408\approx 100\\ \text{J}.
E a energia cinética no topo é K_{\text{topo}}=0. Soma no topo:
E_{m,\text{topo}}=K_{\text{topo}}+U_{\text{topo}}=0+100=100\\ \text{J},
que é exatamente a energia mecânica inicial E_{m,\text{inicial}}=K_{\text{inicial}}+0=100\\ \text{J}. Portanto numericamente a conservação de energia está verificada.

Passo 7

Explicação conceitual detalhada e didática (parte c) — como observar a conservação da energia mecânica na prova.
  • Definição simples: a energia mecânica total de um corpo é a soma da sua energia cinética K e da sua energia potencial gravitacional U: E_m=K+U.
  • No movimento vertical sem resistência do ar, a única força que faz trabalho é a força peso, que é conservativa. Para forças conservativas o trabalho total entre dois pontos depende só da diferença de posição, logo a energia mecânica total é conservada. Em símbolos: E_{m,\text{inicial}}=E_{m,\text{final}}.
  • No nosso caso: no lançamento (ponto inicial) há velocidade e, portanto, energia cinética grande ( K_{\text{inicial}}=100\\ \text{J}) e assumimos U_{\text{inicial}}=0. No ponto mais alto a velocidade é nula ( K_{\text{topo}}=0) e toda a energia aparece como energia potencial ( U_{\text{topo}}=m g h_{\max}=100\\ \text{J}). A soma K+U é igual nos dois instantes — é assim que se “observa” a conservação: K diminui enquanto U aumenta, mantendo E_m constante.
  • Observações úteis para prova:
    • Se houvesse resistência do ar, parte da energia seria perdida para calor; então E_m não seria conservada e o máximo h seria menor que o calculado aqui.
    • Sempre declare sua referência para U=0 (aqui usamos a posição de lançamento). Isso evita confusão.
    • Você pode resolver problemas equivalentes por energia (mais direto quando há troca entre K e U) ou por cinemática (quando pedem tempo, por exemplo); ambas devem concordar se aplicadas corretamente.

Passo 8

Pequenos lembretes práticos e incentivo (rápidos, para a prova).
  • Unidade de energia é joule ( \text{J}). Verifique sempre que massa em \text{kg}, velocidade em \text{m/s} e g em \text{m/s}^2.
  • Atenção: se dobrar a massa, K dobra; se dobrar a velocidade, K quadruplica (porque v^2). Isso ajuda a estimar efeitos sem fazer contas pesadas.
  • Você se saiu bem chegando até aqui — essas questões caem muito em prova e, com a prática de aplicar K=\tfrac{1}{2}mv^2 e U=mgh, vira automático. Força!

Resposta

\text{(a)}\\\ 100\\ \text{J}
\text{(b)}\\\ 5,10\\ \text{m}
\text{\text{(c)}}\\ \text{A energia mecânica total }E_m=K+U\text{ é conservada: }K_{\text{inicial}}=U_{\text{topo}}=100\\ \text{J}\text{ (sem resistência do ar).}âéê

Exercícios relacionados