Questão 2: Uma das armas do projeto “Guerra nas Estrelas” seria um “canhão eletromagnético” a ser colocado em órbita para derrubar mísseis inimigos ainda na fase de subida. O canhão (um tipo de arma de energia cinética) usaria forças eletromagnéticas para disparar um projétil de 2,4 \mathrm{~kg} com uma velocidade de 10 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. Suponha que, em vez de forças eletromagnéticas, o canhão usasse a força de uma mola. Qual deveria ser a constante da mola para que o projétil atingisse a velocidade desejada, supondo que fosse comprimida 1,5 \mathrm{~m} a partir do estado relaxado?

Passo 1

O enunciado dá um projétil de massa m = 2,4\\ \mathrm{kg} que deve sair com velocidade v = 10\\ \mathrm{km/s} (ou seja, v = 10\,000\\ \mathrm{m/s}), usando a energia de uma mola comprimida de x = 1,5\\ \mathrm{m}. O conteúdo que vamos aplicar é a conservação de energia mecânica: a energia potencial elástica da mola vira energia cinética do projétil.

Passo 2

Pela conservação de energia mecânica, temos:
\frac{1}{2}\,k\,x^{2} = \frac{1}{2}\,m\,v^{2}
onde k é a constante da mola, x a compressão e m e v são massa e velocidade do projétil.

Passo 3

Isolando k na equação,
k = \frac{m\,v^{2}}{x^{2}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos,
k = \frac{2{,}4\;\bigl(10\,000\bigr)^{2}}{(1{,}5)^{2}} = \frac{2{,}4\times 10^{8}}{2{,}25} \approx 1{,}07\times 10^{8}\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

A constante da mola deve ser aproximadamente 1{,}07\times 10^{8}\\ \mathrm{N/m}.

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