Questão 1 - Atenuação e Lei de Beer-Lambert
Um feixe laser monocromático de comprimento de onda \lambda=650 \mathrm{~nm} atravessa um material com coeficiente de absorção \alpha=2,5 \mathrm{~cm}^{-1}.
A intensidade inicial é \mathrm{I}_{0}=10 \mathrm{~mW} / \mathrm{cm}^{2}.
Calcule:
I=I 0 e^{\wedge}\{-\| \text { alpha } x\}
A intensidade após atravessar 3 cm do material

Passo 1

O enunciado pede a intensidade I de um feixe laser após atravessar uma espessura x=3\\ \mathrm{cm} de um material, dadas as seguintes informações:
  • comprimento de onda: \lambda=650\\ \mathrm{nm} (informação fornecida, não necessária para o cálculo pedido);
  • coeficiente de absorção: \alpha=2{,}5\\ \mathrm{cm^{-1}};
  • intensidade inicial: I_0=10\\ \mathrm{mW/cm^{2}};
  • distância percorrida no material: x=3\\ \mathrm{cm}.
A pergunta é: calcular I usando a relação indicada.

Passo 2

Explicando cada símbolo da fórmula que vamos usar:
  • I é a intensidade transmitida após atravessar o material por uma distância x.
  • I_0 é a intensidade incidente (antes de entrar no material).
  • \alpha é o coeficiente de absorção do material, com unidades \mathrm{cm^{-1}}.
  • x é a espessura do material em \mathrm{cm}.
Importante: o produto \alpha x deve ser adimensional. Aqui \alpha está em \mathrm{cm^{-1}} e x em \mathrm{cm}, portanto \alpha x é adimensional — perfeito.

Passo 3

A lei de Beer–Lambert (decrescente exponencial) é:
I = I_0 e^{-\alpha x}.
Substituindo os valores dados:
I = 10\\ \mathrm{mW/cm^{2}}\; e^{-2{,}5 \times 3}.
Calculando o expoente:
-\,\alpha x = -\,2{,}5\cdot 3 = -7{,}5.
Logo
I = 10\\ \mathrm{mW/cm^{2}}\; e^{-7{,}5}.

Passo 4

Agora precisamos avaliar e^{-7{,}5}. Uma forma prática de obter uma aproximação é decompor em fatores conhecidos:
e^{-7{,}5} = e^{-7}\cdot e^{-0{,}5}.
Usando aproximações padrão:
e^{-7}\approx 0{,}000911882\qquad\text{e}\qquad e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653066.
Multiplicando:
e^{-7{,}5}\approx 0{,}000911882\times 0{,}60653066 \approx 0{,}000553084.
(Sugestão prática para prova: se não lembrar desses números, pode usar a relação e^{-7{,}5}=10^{-7{,}5/\ln 10} e tabelas ou calculadora científica para obter a mesma aproximação.)

Passo 5

Multiplicando pela intensidade inicial:
I = 10\\ \mathrm{mW/cm^{2}}\times 0{,}000553084 \approx 0{,}00553084\\ \mathrm{mW/cm^{2}}.
Convendo para unidades mais usuais: multiplicando por 1000,
I \approx 5{,}53084\\ \mu\mathrm{W/cm^{2}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
I \approx 5{,}53\\ \mu\mathrm{W/cm^{2}}.

Resposta

I \approx 5{,}53\times10^{-3}\\ \mathrm{mW/cm^{2}} = 5{,}53\\ \mu\mathrm{W/cm^{2}}

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