Questão 9 Se
e
são conjuntos tais que,
é uma função bijetora, exiba uma função bijetora
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados: conjuntos
e e uma função que é bijetora. - Pedido: exibir (isto é, definir explicitamente) uma função bijetora
onde
denota o conjunto das partes (ou conjunto potência) de
, isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de
.
Observações úteis que o enunciado nos dá (sem resolver ainda): como
é bijetora, existe uma função inversa
que satisfaz
para todo
e
para todo
.
Passo 2
Vamos lembrar algumas definições importantes, bem mastigadas:
- Definição de conjunto potência:
é o conjunto de todos os subconjuntos de . Por exemplo, se , então . - Imagem de um subconjunto: para uma função
e um subconjunto , define-se a imagem de por
- Pré-imagem (imagem inversa) de um subconjunto: para
,
- Bijeção e inversa:
bijetora implica que existe como função de em e que, para todo ,
e para todo
,
Vou provar essas igualdades quando for necessário, passo a passo; por ora é importante saber que elas são verdadeiras quando
é bijetora.
Passo 3
Construção natural da função pedida: para cada subconjunto
defina
Isto dá uma função
pois para qualquer
a imagem
é de fato um subconjunto de
.
Comentário informal: estamos simplesmente “aplicando
a todos os elementos” do subconjunto
. Essa é a construção padrão (imagem de subconjunto).
Passo 4
Mostrar que
é injetora. Seja
e suponha
Queremos provar
. Use a inversa
e a propriedade da pré-imagem:
- Primeiro, para qualquer
vale sempre . De fato, se então e portanto . - Agora a outra inclusão: se
então , ou seja, existe com . Como é injetora, . Logo . - Portanto, quando
é bijetora, para todo tem-se a igualdade
Aplicando isso ao nosso caso:
Assim
, provando que
é injetora.
Passo 5
Mostrar que
é sobrejetora. Tome qualquer
. Defina o subconjunto
Calcule
:
Como
é bijetora, vale
para todo
(prova: se
então
e assim
; e se
então existe
com
, logo
). Portanto
. Isso mostra que qualquer
tem um pré-imagem por
, logo
é sobrejetora.
Passo 6
Conclusão combinada e alternativa via inversa: dos Passos 4 e 5 concluímos que
é bijetora. Uma descrição explícita da inversa de
é a função
Verificações rápidas: para qualquer
,
e para qualquer
,
Assim
e
é bijetora de forma explícita.
Passo 7
Exemplo concreto para intuir: seja
,
e
,
(uma bijeção). Então
-
. -
. - A função
dada por age assim: -
, -
, -
, -
.
Nesse casoé claramente bijetora e sua inversa manda etc., exatamente via .
-