Questão 9 Se A e B são conjuntos tais que, f: A \rightarrow B é uma função bijetora, exiba uma função bijetora F: \mathbb{P}(A) \rightarrow \mathbb{P}(B).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: conjuntos A e B e uma função f: A \to B que é bijetora.
  • Pedido: exibir (isto é, definir explicitamente) uma função bijetora
F: \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B),
onde \mathcal{P}(X) denota o conjunto das partes (ou conjunto potência) de X, isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de X.
Observações úteis que o enunciado nos dá (sem resolver ainda): como f é bijetora, existe uma função inversa f^{-1}: B \to A que satisfaz f^{-1}(f(a))=a para todo a\in A e f(f^{-1}(b))=b para todo b\in B.

Passo 2

Vamos lembrar algumas definições importantes, bem mastigadas:
  • Definição de conjunto potência: \mathcal{P}(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Por exemplo, se A=\{1,2\}, então \mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.
  • Imagem de um subconjunto: para uma função f: A\to B e um subconjunto S\subseteq A, define-se a imagem de S por
f[S]=\{\,f(a)\mid a\in S\,\}\subseteq B.
  • Pré-imagem (imagem inversa) de um subconjunto: para T\subseteq B,
f^{-1}[T]=\{\,a\in A\mid f(a)\in T\,\}\subseteq A.
  • Bijeção e inversa: f bijetora implica que f^{-1} existe como função de B em A e que, para todo S\subseteq A,
f^{-1}[f[S]] = S,
e para todo T\subseteq B,
f[f^{-1}[T]] = T.
Vou provar essas igualdades quando for necessário, passo a passo; por ora é importante saber que elas são verdadeiras quando f é bijetora.

Passo 3

Construção natural da função pedida: para cada subconjunto S\subseteq A defina
F(S) \coloneqq f[S] = \{\,f(a)\mid a\in S\,\}.
Isto dá uma função
F: \mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(B),
pois para qualquer S\subseteq A a imagem f[S] é de fato um subconjunto de B.
Comentário informal: estamos simplesmente “aplicando f a todos os elementos” do subconjunto S. Essa é a construção padrão (imagem de subconjunto).

Passo 4

Mostrar que F é injetora. Seja S_1,S_2\subseteq A e suponha
F(S_1)=F(S_2).
Queremos provar S_1=S_2. Use a inversa f^{-1} e a propriedade da pré-imagem:
  • Primeiro, para qualquer S\subseteq A vale sempre \;S\subseteq f^{-1}[f[S]]. De fato, se x\in S então f(x)\in f[S] e portanto x=f^{-1}(f(x))\in f^{-1}[f[S]].
  • Agora a outra inclusão: se x\in f^{-1}[f[S]] então f(x)\in f[S], ou seja, existe s\in S com f(x)=f(s). Como f é injetora, x=s\in S. Logo f^{-1}[f[S]]\subseteq S.
  • Portanto, quando f é bijetora, para todo S\subseteq A tem-se a igualdade
f^{-1}[f[S]] = S.
Aplicando isso ao nosso caso:
S_1 = f^{-1}[f[S_1]] = f^{-1}[F(S_1)] = f^{-1}[F(S_2)] = f^{-1}[f[S_2]] = S_2.
Assim S_1=S_2, provando que F é injetora.

Passo 5

Mostrar que F é sobrejetora. Tome qualquer T\subseteq B. Defina o subconjunto
S \coloneqq f^{-1}[T] = \{\,a\in A\mid f(a)\in T\,\}\subseteq A.
Calcule F(S):
F(S)=f[S]=f[f^{-1}[T]].
Como f é bijetora, vale f[f^{-1}[T]]=T para todo T\subseteq B (prova: se b\in T então f^{-1}(b)\in f^{-1}[T] e assim b=f(f^{-1}(b))\in f[f^{-1}[T]]; e se b\in f[f^{-1}[T]] então existe a\in f^{-1}[T] com b=f(a), logo b\in T). Portanto F(S)=T. Isso mostra que qualquer T\subseteq B tem um pré-imagem por F, logo F é sobrejetora.

Passo 6

Conclusão combinada e alternativa via inversa: dos Passos 4 e 5 concluímos que F é bijetora. Uma descrição explícita da inversa de F é a função
G: \mathcal{P}(B)\to\mathcal{P}(A),\qquad G(T)=f^{-1}[T].
Verificações rápidas: para qualquer S\subseteq A,
G(F(S)) = f^{-1}[f[S]] = S,
e para qualquer T\subseteq B,
F(G(T)) = f[f^{-1}[T]] = T.
Assim G=F^{-1} e F é bijetora de forma explícita.

Passo 7

Exemplo concreto para intuir: seja A=\{1,2\}, B=\{a,b\} e f(1)=a, f(2)=b (uma bijeção). Então
  • \mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.
  • \mathcal{P}(B)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.
  • A função F dada por F(S)=\{f(x)\mid x\in S\} age assim:
    • F(\varnothing)=\varnothing,
    • F(\{1\})=\{a\},
    • F(\{2\})=\{b\},
    • F(\{1,2\})=\{a,b\}.
      Nesse caso F é claramente bijetora e sua inversa manda \{a\}\mapsto\{1\} etc., exatamente via f^{-1}.

Resposta

F:\mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(B),\qquad F(S)=\{\,f(a)\mid a\in S\,\}

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