Questão 6 Mostre que a função f: \mathbb{R} \rightarrow(-1,1) dada por
f(x)=\frac{10^{x}-10^{-x}}{10^{x}+10^{-x}}
é bijetora e determine a sua inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to(-1,1) definida por
f(x)=\frac{10^{x}-10^{-x}}{10^{x}+10^{-x}}.
O que pede:
  • Mostrar que f é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora).
  • Determinar a inversa f^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula explícita de f.
  • O contradomínio indicado é (-1,1) (precisa-se confirmar que a imagem de fato está dentro desse intervalo e que todo y\in(-1,1) tem um x com f(x)=y).

Passo 2

Primeira simplificação útil (para facilitar contas): coloque t=10^{x}>0. Então 10^{-x}=1/10^{x}=1/t e
f(x)=\frac{t-\tfrac{1}{t}}{t+\tfrac{1}{t}}.
Multiplicando numerador e denominador por t obtemos uma forma mais simples: seja u=10^{2x}=t^2>0. Então
f(x)=\frac{u-1}{u+1}.
Essa forma é muito prática para analisar intervalo imagem e para inverter a função.

Passo 3

Mostrar que a imagem de f está em (-1,1).
Tomando u>0, considere g(u)=\dfrac{u-1}{u+1}. Vamos mostrar que -1<g(u)<1 para todo u>0.
  • Para g(u)<1: note que
\frac{u-1}{u+1}<1
é equivalente (multiplicando por u+1>0) a
u-1 < u+1,
o que é verdadeiro (pois -1<1). Logo g(u)<1.
  • Para g(u)>-1: similarmente
\frac{u-1}{u+1}>-1
é equivalente (multiplicando por u+1>0) a
u-1 > -u-1,
ou seja
2u>0,
o que é verdadeiro porque u>0. Logo g(u)>-1.
Portanto -1<g(u)<1 para todo u>0. Como u=10^{2x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que f(x)=g(u)\in(-1,1). Assim a imagem de f está contida em (-1,1), compatível com o contradomínio dado.
Também vale observar os limites de borda (intuição): \lim_{x\to\infty}f(x)=1 e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1, então a imagem é todo o intervalo aberto (-1,1) (veremos rigorosamente a surjectividade no passo seguinte).

Passo 4

Definições rápidas e estratégia.
  • Injetiva: para quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R}, se f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2.
  • Sobrejetiva (ou suprir): para cada y\in(-1,1) existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.
Vou mostrar injetividade por um argumento algébrico direto (sem usar derivadas) e a sobrejetividade resolvendo a equação f(x)=y.

Passo 5

Provar injetividade (argumento algébrico).
Suponha f(x_1)=f(x_2). Com a notação u_i=10^{2x_i}>0 temos
\frac{u_1-1}{u_1+1}=\frac{u_2-1}{u_2+1}.
Cross-multiplicando (os denominadores são positivos):
(u_1-1)(u_2+1)=(u_2-1)(u_1+1).
Desenvolvendo ambos os lados:
u_1u_2+u_1 - u_2 -1 = u_1u_2 + u_2 - u_1 -1.
Cancelar u_1u_2 e -1 de ambos os lados deixa
u_1 - u_2 = u_2 - u_1.
Somando u_2 - u_1 em ambos os lados:
2(u_1 - u_2)=0 \quad\Rightarrow\quad u_1=u_2.
Como u_i=10^{2x_i} e a função x\mapsto 10^{2x} é injetora (exponencial com base 10>0, 10\neq1), segue que 2x_1=2x_2 e então x_1=x_2. Portanto f é injetiva.
Observação curta: a injetividade de 10^{2x} pode ser vista porque a função exponencial é estritamente crescente.

Passo 6

Provar sobrejetividade (resolver f(x)=y para qualquer y\in(-1,1)).
Pegue y\in(-1,1) arbitrário. Queremos achar x\in\mathbb{R} tal que
\frac{10^{2x}-1}{10^{2x}+1}=y.
Multiplique ambos os lados por 10^{2x}+1>0:
10^{2x}-1 = y(10^{2x}+1).
Recolha termos com 10^{2x}:
10^{2x} - y\,10^{2x} = y+1.
Fatorando:
10^{2x}(1-y)=1+y.
Como y<1 temos 1-y>0, e como y>-1 temos 1+y>0. Assim o lado direito é positivo e podemos dividir:
10^{2x}=\frac{1+y}{1-y}.
A razão do lado direito é positiva para todo y\in(-1,1), logo existe solução real x. Tomando logaritmo na base 10 temos
2x=\log_{10}\!\left(\frac{1+y}{1-y}\right),
portanto
x=\frac{1}{2}\log_{10}\!\left(\frac{1+y}{1-y}\right).
Isso fornece explicitamente um x\in\mathbb{R} para cada y\in(-1,1). Assim f é sobrejetiva sobre (-1,1).

Passo 7

Encontrar a inversa explicitamente e verificar a fórmula rapidamente.
Pelo passo anterior, para y\in(-1,1) a solução de f(x)=y é
x=\frac{1}{2}\log_{10}\!\left(\frac{1+y}{1-y}\right).
Portanto a inversa f^{-1}:(-1,1)\to\mathbb{R} é a função
f^{-1}(y)=\frac{1}{2}\log_{10}\!\left(\frac{1+y}{1-y}\right).
Verificação rápida (substituir y=f(x) e simplificar): se y=\dfrac{10^{2x}-1}{10^{2x}+1} então
\frac{1+y}{1-y}=\frac{1+\dfrac{10^{2x}-1}{10^{2x}+1}}{1-\dfrac{10^{2x}-1}{10^{2x}+1}} =\frac{\dfrac{10^{2x}+1+10^{2x}-1}{10^{2x}+1}}{\dfrac{10^{2x}+1-10^{2x}+1}{10^{2x}+1}} =\frac{2\cdot 10^{2x}}{2} = 10^{2x},
logo f^{-1}(f(x))=\dfrac{1}{2}\log_{10}(10^{2x})=x, confirmando que a expressão é realmente a inversa.

Passo 8

Conclusão: como f é injetiva e sobrejetiva entre \mathbb{R} e (-1,1), f é bijetora, e sua inversa foi encontrada.

Resposta

f é bijetora.
f^{-1}(y)=\frac{1}{2}\log_{10}\!\left(\frac{1+y}{1-y}\right),\qquad y\in(-1,1).

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