Questão 6 Mostre que a função
dada por
é bijetora e determine a sua inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que pede:
- Mostrar que
é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). - Determinar a inversa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A fórmula explícita de
. - O contradomínio indicado é
(precisa-se confirmar que a imagem de fato está dentro desse intervalo e que todo tem um com ).
Passo 2
Primeira simplificação útil (para facilitar contas): coloque
. Então
e
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos uma forma mais simples: seja
. Então
Essa forma é muito prática para analisar intervalo imagem e para inverter a função.
Passo 3
Mostrar que a imagem de
está em
.
Tomando
, considere
. Vamos mostrar que
para todo
.
- Para
: note que
é equivalente (multiplicando por
) a
o que é verdadeiro (pois
). Logo
.
- Para
: similarmente
é equivalente (multiplicando por
) a
ou seja
o que é verdadeiro porque
. Logo
.
Portanto
para todo
. Como
para todo
, segue que
. Assim a imagem de
está contida em
, compatível com o contradomínio dado.
Também vale observar os limites de borda (intuição):
e
, então a imagem é todo o intervalo aberto
(veremos rigorosamente a surjectividade no passo seguinte).
Passo 4
Definições rápidas e estratégia.
- Injetiva: para quaisquer
, se então . - Sobrejetiva (ou suprir): para cada
existe tal que .
Vou mostrar injetividade por um argumento algébrico direto (sem usar derivadas) e a sobrejetividade resolvendo a equação
.
Passo 5
Provar injetividade (argumento algébrico).
Suponha
. Com a notação
temos
Cross-multiplicando (os denominadores são positivos):
Desenvolvendo ambos os lados:
Cancelar
e
de ambos os lados deixa
Somando
em ambos os lados:
Como
e a função
é injetora (exponencial com base
,
), segue que
e então
. Portanto
é injetiva.
Observação curta: a injetividade de
pode ser vista porque a função exponencial é estritamente crescente.
Passo 6
Provar sobrejetividade (resolver
para qualquer
).
Pegue
arbitrário. Queremos achar
tal que
Multiplique ambos os lados por
:
Recolha termos com
:
Fatorando:
Como
temos
, e como
temos
. Assim o lado direito é positivo e podemos dividir:
A razão do lado direito é positiva para todo
, logo existe solução real
. Tomando logaritmo na base
temos
portanto
Isso fornece explicitamente um
para cada
. Assim
é sobrejetiva sobre
.
Passo 7
Encontrar a inversa explicitamente e verificar a fórmula rapidamente.
Pelo passo anterior, para
a solução de
é
Portanto a inversa
é a função
Verificação rápida (substituir
e simplificar): se
então
logo
, confirmando que a expressão é realmente a inversa.
Passo 8
Conclusão: como
é injetiva e sobrejetiva entre
e
,
é bijetora, e sua inversa foi encontrada.