QUESTÃO 2: (4,0)

Uma barra em " L ", de seção quadrada de lado a, é atingida por uma massa lançada de uma altura h.
Despreze o peso próprio da barra e os efeitos de concentração de tensões. Pede-se:
a) o deslocamento vertical do ponto C;
b) descreva o procedimento para obter o deslocamento horizontal do ponto C.
Dados: E=70 \mathrm{GPa}; g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
a=20 \mathrm{~mm} ; L_{A B}=200 \mathrm{~mm} ; L_{B C}=400 \mathrm{~mm}
m=1 \mathrm{~kg}; h=500 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado descreve uma barra em “L” com seção quadrada de lado a, constituída por dois trechos: AB vertical de comprimento L_{AB} e BC horizontal de comprimento L_{BC}. A barra está engastada em A e recebe no ponto C o impacto de uma massa m caída de uma altura h. Desprezam-se o peso próprio da barra e efeitos de concentração de tensões. Pedem-se:
a) o deslocamento vertical em C devido ao impacto;
b) descrever como obter o deslocamento horizontal em C.
Conteúdo: flexão de vigas e método de energia (Castigliano e conservação da energia).

Passo 2

Sob um esforço estático equivalente P aplicado para baixo em C, a deflexão vertical \delta em C resulta da soma de duas contribuições:
  1. Flexão do trecho BC como um pontalete:
\delta_1 = \frac{P\,L_{BC}^3}{3\,E\,I}.
  1. Rotação no entalhe B causada pela flexão do trecho AB sob momento constante M_A = P\,L_{BC}. A rotação em B é
\theta_B = \frac{M_A\,L_{AB}}{E\,I} = \frac{P\,L_{BC}\,L_{AB}}{E\,I},
e gera deslocamento vertical adicional em C igual a
\delta_2 = L_{BC}\,\theta_B = \frac{P\,L_{BC}^2\,L_{AB}}{E\,I}.
Assim, a deflexão total é
\delta(P) \;=\;\delta_1+\delta_2 \;=\;\frac{P}{E\,I}\Bigl(\frac{L_{BC}^3}{3} + L_{BC}^2\,L_{AB}\Bigr).

Passo 3

Definindo a rigidez equivalente k de toda a barra na direção vertical em C como
k = \frac{P}{\delta(P)} =\frac{E\,I}{\displaystyle \frac{L_{BC}^3}{3} + L_{BC}^2\,L_{AB}},
a energia de deformação elástica sob carga máxima P é
U = \frac{1}{2}\,k\,\delta^2 =\frac{1}{2}\,P\,\delta(P).
Pela conservação de energia, quando a massa m cai de altura h,
m\,g\,h = U \;=\;\frac{1}{2}\,k\,\delta^2.

Passo 4

Solução numérica para \delta:
– Converter dados para o SI: \displaystyle a=20\text{ mm}=0,02\text{ m},\quad L_{AB}=200\text{ mm}=0,2\text{ m},\quad L_{BC}=400\text{ mm}=0,4\text{ m},\quad h=500\text{ mm}=0,5\text{ m}.
– Momento de inércia da seção quadrada:
I = \frac{a^4}{12} = \frac{(0,02)^4}{12} = 1{,}33\times10^{-8}\,\text{m}^4.
– Rigidez k:
k = \frac{70\times10^9\cdot1{,}33\times10^{-8}} {\frac{0,4^3}{3} + 0,4^2\cdot0,2} \approx1{,}75\times10^4\;\text{N/m}.
– Energia disponível:
m\,g\,h = 1\cdot10\cdot0,5 = 5\;\text{J}.
– Igualando \displaystyle mgh=\tfrac12\,k\,\delta^2 e isolando \delta:
\delta = \sqrt{\frac{2\,m\,g\,h}{k}} = \sqrt{\frac{10}{1{,}75\times10^4}} \approx0{,}0239\;\text{m} =23{,}9\;\text{mm}.

Passo 5

Procedimento para obter o deslocamento horizontal em C:
Aplicar em C uma carga fictícia horizontal unitária H, calcular a energia de deformação
U(H)=\int_{AB}\frac{M^2(x)}{2EI}\,dx \;+\;\int_{BC}\frac{M^2(x)}{2EI}\,dx
em função de H (onde M varia em cada trecho conforme a alavanca e a geometria), e então usar o teorema de Castigliano:
\delta_x \;=\;\frac{\partial U}{\partial H}\Big|_{H=1}.
Alternativamente, nota-se que só o trecho AB contribui para a rotação no entalhe, cuja rotação \theta_B multiplica L_{BC} para produzir deslocamento horizontal
\delta_x = L_{BC}\,\theta_B = \frac{H\,L_{BC}^2\,L_{AB}}{E\,I} \quad\text{(em \(H=1\) dá o valor unitário, depois scala-se para a carga real).}áá

Resposta

O deslocamento vertical máximo em C é aproximadamente 23{,}9 mm para baixo. A determinação do deslocamento horizontal se faz por meio do teorema de Castigliano, aplicando-se uma carga unitária horizontal em C e obtendo \delta_x=\partial U/\partial H.

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