1. Um cilindro circular sólido homogêneo de peso W e raio R, inicialmente girando em torno de seu eixo geométrico com velocidade angular \omega_{0}, é repentinamente colocado sobre um plano horizontal sem nenhuma velocidade inicial para frente. Qual velocidade v_{c} ao longo do plano o cilindro finalmente adquirirá se o coeficiente de atrito no ponto de contato A for \mu ? Resposta: v_{c}=\frac{R \omega_{0}}{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade final do centro de massa v_{c} (ao longo do plano) de um cilindro circular sólido homogêneo de raio R e peso W, que inicialmente gira com velocidade angular \omega_{0} em torno do seu eixo e cujo centro está inicialmente em repouso; o cilindro é então colocado repentinamente sobre o plano com coeficiente de atrito (de deslizamento) \mu. A resposta esperada é v_{c}=\dfrac{R\omega_{0}}{3}.
Informações dadas (explicitando o que o enunciado fornece):
  • Peso do cilindro: W. (Daqui podemos obter a massa m via m=\dfrac{W}{g}.)
  • Raio do cilindro: R.
  • Velocidade angular inicial: \omega_{0}.
  • Centro de massa inicialmente em repouso: v(0)=0.
  • Coeficiente de atrito (assume-se atrito de deslizamento com intensidade \mu): \mu.
  • Pedem v_{c}, a velocidade do centro quando o cilindro passa a rolar sem deslizar.
Observação sobre a figura: a figura incluída mostra marcações (ângulo 30^\circ, ponto A, seta P e distância d). Há uma aparente inconsistência entre o enunciado (plano horizontal) e o desenho. Neste desenvolvimento vou seguir o texto do enunciado (plano horizontal) — não é necessário usar o ângulo marcado na figura para resolver o problema tal como enunciado. (Na seção de imagens ao final eu listo o que aparece na figura.)

Passo 2

Modelagem e hipóteses físicas, com explicação didática.
  • Primeiro, converto o peso em massa: m=\dfrac{W}{g}, onde g é a aceleração da gravidade. Explicação: peso W é força, e massa é W/g.
  • Momento de inércia do cilindro em torno do seu eixo central: para um cilindro sólido homogêneo vale
I=\frac{1}{2}\,mR^{2}.
Explicação: I mede a “dificuldade” de mudar a rotação; para cilindro sólido conhecido usa-se essa fórmula (aqui m é a massa e R o raio).
  • Quando o cilindro é colocado sobre o plano, existe deslizamento no ponto de contato porque o ponto do cilindro que toca o plano tem velocidade relativa não nula (o centro está em repouso mas a rotação dá velocidade ao bordo). Enquanto houver deslizamento, o atrito é do tipo cinético (deslizante) e tem módulo aproximado f=\mu N. No plano horizontal, N=m g, logo
f=\mu m g.
Explicação: atrito cinético tem magnitude \mu vezes a reação normal N; aqui N equilibra o peso, então N=m g.
  • Direção do atrito: a superfície do cilindro, ao girar com \omega_{0}, tende a arrastar a face de contato no sentido que faz o cilindro “escorregar” sobre o plano. Isso produz uma força de atrito que se opõe ao deslizamento. No caso típico (rotação que faria o ponto de contato “andar para trás” em relação ao plano), o atrito age para frente e assim acelera o centro do cilindro para frente enquanto reduz a rotação (faz torque contrário). Em termos de sinais: atrito fornece aceleração linear positiva a e aceleração angular negativa \alpha. Vou usar essa orientação para escrever as equações (os sinais aparecem coerentes nas equações a seguir).

Passo 3

Equação de movimento linear do centro de massa (translação).
  • Pela segunda lei de Newton para translação, a força de atrito é a única horizontal relevante, então
f = m a.
Substituindo f=\mu m g obtemos
a=\mu g.
Explicação: a é a aceleração do centro de massa; como f é constante (modelo de atrito cinético), a é constante e igual a \mu g.

Passo 4

Equação de movimento rotacional (torque) em torno do centro.
  • O torque devido à força de atrito em relação ao centro é \tau = -fR (o sinal negativo indica que o torque reduz a rotação inicial). Pela segunda lei rotacional:
\tau = I\,\alpha.
Substituindo \tau=-fR e I=\dfrac{1}{2}mR^{2} e f=\mu m g, temos
-fR = \frac{1}{2} m R^{2}\,\alpha.
Cancelando m e R (com cuidado) dá
\alpha = -\frac{2f}{mR} = -\frac{2\mu g}{R}.
Explicação: \alpha é a aceleração angular (constante neste modelo), e o sinal negativo mostra que \omega diminui com o tempo.

Passo 5

Integração temporal para encontrar v(t) e \omega(t) enquanto houver deslizamento.
  • Condições iniciais: v(0)=0 e \omega(0)=\omega_{0}.
  • Como a e \alpha são constantes, integrar é trivial:
v(t)=v(0)+a t = \mu g\,t,
\omega(t)=\omega(0)+\alpha t = \omega_{0}-\frac{2\mu g}{R}\,t.
Explicação: aceleração constante integra para velocidade linear/angulares lineares em t.

Passo 6

Condição de rolamento sem deslizamento e solução para o tempo quando isso ocorre.
  • A condição de rolamento sem deslizamento é a relação entre velocidade linear do centro e velocidade angular da rotação:
v = R\omega.
  • Substituo v(t) e \omega(t) e resolvo para o tempo t em que a condição se satisfaz:
\mu g\,t = R\!\left(\omega_{0}-\frac{2\mu g}{R}\,t\right).
Desenvolvendo:
\mu g\,t = R\omega_{0} - 2\mu g\,t.
Somando 2\mu g\,t aos dois lados:
3\mu g\,t = R\omega_{0}.
Isolando t:
t=\frac{R\omega_{0}}{3\mu g}.
Explicação: esse é o instante em que a velocidade linear do centro já alcançou a necessária para que o ponto de contato tenha velocidade zero relativa ao solo (rolamento puro).

Passo 7

Velocidade final v_{c} (quando passa a rolar sem deslizar).
  • Substituo t em v(t)=\mu g\,t:
v_{c} = \mu g \left(\frac{R\omega_{0}}{3\mu g}\right) = \frac{R\omega_{0}}{3}.
Observação importante: o fator \mu g cancela; portanto o resultado final não depende do valor de \mu (desde que \mu>0 e que o modelo de atrito cinético seja apropriado durante a fase de deslizamento). Intuição física: atrito acelera a translação e retarda a rotação; a razão entre as taxas (fixada pela geometria e o momento de inércia) faz com que, independentemente da intensidade de atrito, o ponto de rolamento seja atingido quando a combinação dá esse valor final.

Passo 8

Comentário físico final e verificação de consistência.
  • Energia não é conservada durante a fase de deslizamento: parte da energia rotacional inicial é dissipada por atrito, enquanto parte vai para energia translacional. Por isso não é possível usar conservação de energia para obter o resultado sem tratar a dissipação.
  • A abordagem por equações de movimento (força e torque constantes) é simples e direta e leva ao resultado buscado.
  • Resumo: para cilindro sólido I=\tfrac{1}{2}mR^{2} e atrito cinético constante, obtemos v_{c}=\dfrac{R\omega_{0}}{3}.

Resposta

v_{c}=\frac{R\omega_{0}}{3}

Exercícios relacionados