- Um cilindro circular sólido homogêneo de peso
e raio
, inicialmente girando em torno de seu eixo geométrico com velocidade angular
, é repentinamente colocado sobre um plano horizontal sem nenhuma velocidade inicial para frente. Qual velocidade
ao longo do plano o cilindro finalmente adquirirá se o coeficiente de atrito no ponto de contato
for
? Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade final do centro de massa
(ao longo do plano) de um cilindro circular sólido homogêneo de raio
e peso
, que inicialmente gira com velocidade angular
em torno do seu eixo e cujo centro está inicialmente em repouso; o cilindro é então colocado repentinamente sobre o plano com coeficiente de atrito (de deslizamento)
. A resposta esperada é
.
Informações dadas (explicitando o que o enunciado fornece):
- Peso do cilindro:
. (Daqui podemos obter a massa via .) - Raio do cilindro:
. - Velocidade angular inicial:
. - Centro de massa inicialmente em repouso:
. - Coeficiente de atrito (assume-se atrito de deslizamento com intensidade
): . - Pedem
, a velocidade do centro quando o cilindro passa a rolar sem deslizar.
Observação sobre a figura: a figura incluída mostra marcações (ângulo
, ponto
, seta
e distância
). Há uma aparente inconsistência entre o enunciado (plano horizontal) e o desenho. Neste desenvolvimento vou seguir o texto do enunciado (plano horizontal) — não é necessário usar o ângulo marcado na figura para resolver o problema tal como enunciado. (Na seção de imagens ao final eu listo o que aparece na figura.)
Passo 2
Modelagem e hipóteses físicas, com explicação didática.
- Primeiro, converto o peso em massa:
, onde é a aceleração da gravidade. Explicação: peso é força, e massa é . - Momento de inércia do cilindro em torno do seu eixo central: para um cilindro sólido homogêneo vale
Explicação:
mede a “dificuldade” de mudar a rotação; para cilindro sólido conhecido usa-se essa fórmula (aqui
é a massa e
o raio).
- Quando o cilindro é colocado sobre o plano, existe deslizamento no ponto de contato porque o ponto do cilindro que toca o plano tem velocidade relativa não nula (o centro está em repouso mas a rotação dá velocidade ao bordo). Enquanto houver deslizamento, o atrito é do tipo cinético (deslizante) e tem módulo aproximado
. No plano horizontal, , logo
Explicação: atrito cinético tem magnitude
vezes a reação normal
; aqui
equilibra o peso, então
.
- Direção do atrito: a superfície do cilindro, ao girar com
, tende a arrastar a face de contato no sentido que faz o cilindro “escorregar” sobre o plano. Isso produz uma força de atrito que se opõe ao deslizamento. No caso típico (rotação que faria o ponto de contato “andar para trás” em relação ao plano), o atrito age para frente e assim acelera o centro do cilindro para frente enquanto reduz a rotação (faz torque contrário). Em termos de sinais: atrito fornece aceleração linear positiva e aceleração angular negativa . Vou usar essa orientação para escrever as equações (os sinais aparecem coerentes nas equações a seguir).
Passo 3
Equação de movimento linear do centro de massa (translação).
- Pela segunda lei de Newton para translação, a força de atrito é a única horizontal relevante, então
Substituindo
obtemos
Explicação:
é a aceleração do centro de massa; como
é constante (modelo de atrito cinético),
é constante e igual a
.
Passo 4
Equação de movimento rotacional (torque) em torno do centro.
- O torque devido à força de atrito em relação ao centro é
(o sinal negativo indica que o torque reduz a rotação inicial). Pela segunda lei rotacional:
Substituindo
e
e
, temos
Cancelando
e
(com cuidado) dá
Explicação:
é a aceleração angular (constante neste modelo), e o sinal negativo mostra que
diminui com o tempo.
Passo 5
Integração temporal para encontrar
e
enquanto houver deslizamento.
- Condições iniciais:
e . - Como
e são constantes, integrar é trivial:
Explicação: aceleração constante integra para velocidade linear/angulares lineares em
.
Passo 6
Condição de rolamento sem deslizamento e solução para o tempo quando isso ocorre.
- A condição de rolamento sem deslizamento é a relação entre velocidade linear do centro e velocidade angular da rotação:
- Substituo
e e resolvo para o tempo em que a condição se satisfaz:
Desenvolvendo:
Somando
aos dois lados:
Isolando
:
Explicação: esse é o instante em que a velocidade linear do centro já alcançou a necessária para que o ponto de contato tenha velocidade zero relativa ao solo (rolamento puro).
Passo 7
Velocidade final
(quando passa a rolar sem deslizar).
- Substituo
em :
Observação importante: o fator
cancela; portanto o resultado final não depende do valor de
(desde que
e que o modelo de atrito cinético seja apropriado durante a fase de deslizamento). Intuição física: atrito acelera a translação e retarda a rotação; a razão entre as taxas (fixada pela geometria e o momento de inércia) faz com que, independentemente da intensidade de atrito, o ponto de rolamento seja atingido quando a combinação dá esse valor final.
Passo 8
Comentário físico final e verificação de consistência.
- Energia não é conservada durante a fase de deslizamento: parte da energia rotacional inicial é dissipada por atrito, enquanto parte vai para energia translacional. Por isso não é possível usar conservação de energia para obter o resultado sem tratar a dissipação.
- A abordagem por equações de movimento (força e torque constantes) é simples e direta e leva ao resultado buscado.
- Resumo: para cilindro sólido
e atrito cinético constante, obtemos .