Questão 3. Com base na definição de números positivos acima, demonstre os seguintes resultados:
a) Se
é positivo e
é um número natural, prove que
é positivo.
b) Se
e
são números naturais tais que
, prove que
e
.
c) Seja
um número positivo. Prove que existe exatamente um número natural
tal que
.
a) Se
b) Se
c) Seja
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais fatos vamos usar (peguei a definição de “número positivo” mencionada no enunciado).
O enunciado pede três coisas:
- (a) Provar que, se
é positivo e é natural, então é positivo. - (b) Provar que, se
e são naturais com , então e . - (c) Provar que, dado
positivo, existe exatamente um natural tal que .
Informações/definições e propriedades que vou usar (essas são as propriedades “básicas” de
e da adição no contexto de Peano, que o enunciado pressupõe):
- A definição de “número positivo” usada aqui é: “um número
é positivo” significa que existe algum com . Em palavras: positivos são os sucessores (ou, equivalentemente, são exatamente os naturais que não são ). - A adição é definida recursivamente por:
para todos
.
- Axiomas úteis dos naturais:
-
não é sucessor de ninguém: não existe com . - O sucessor é injetor: se
então .
-
A resolução começará a usar essas definições e propriedades a partir do próximo passo.
Passo 2
Prova de (a): se
é positivo e
é natural, então
é positivo.
Explicação do plano antes de entrar nas contas: como “positivo” significa ser um sucessor, a ideia é mostrar que
também é um sucessor. Para isso usamos a definição recursiva da adição: a soma com
mantém o primeiro termo, e a soma com um sucessor produz um sucessor do que era antes. Faremos uma prova por indução em
(ou, equivalentemente, usamos diretamente a definição recursiva), mostrando que para todo
a soma
é um sucessor sempre que
é sucessor.
Detalhamento passo a passo:
-
Como
é positivo, existe tal que (esta é a tradução da definição de “positivo”.) -
Caso-base:
.
Usando a definição da adição,Logoé sucessor, isto é, é positivo. -
Passo indutivo: suponha que para um dado
vale que é sucessor (positivo). Então, usando a regra da adição, Pela hipótese indutivaé algum número , então é sucessor de ; em particular é sucessor, logo positivo. -
Conclusão por indução: para todo
tem-se que é sucessor (positivo). Portanto, se é positivo e é natural, então é positivo.
Observação pedagógica: aqui usamos a propriedade fundamental da adição recursiva: somar um sucessor ao segundo termo produz um sucessor do que seria a soma anterior, então a “qualidade de ser sucessor” se preserva ao somar qualquer natural.
Passo 3
Prova de (b): se
e
são naturais tais que
, prove que
e
.
Vamos por contradição e pelas propriedades já apresentadas.
-
Suponha
. -
Primeiro, mostro que
não pode ser um sucessor. Se fosse um sucessor, então existiria com . Aplicando a definição da adição (ou o argumento do passo anterior), teríamos Masé um sucessor, e pelos axiomas dos naturais nenhum sucessor pode ser igual a . Logo não pode acontecer . Isso contradiz a hipótese . Portanto não é sucessor. -
Como todo natural é ou
ou um sucessor, e já vimos que não é sucessor, deve ser . -
Substituindo
na hipótese obtemos Pela definição da adição,. Portanto . -
Conclusão:
e , como queríamos provar.
Breve comentário: a propriedade-chave usada aqui foi que 0 não é sucessor de nenhum número e a definição da adição em que somar 0 deixa o outro número inalterado.
Passo 4
Prova de (c): seja
um número positivo. Prove que existe exatamente um número natural
tal que
.
Novamente, pela definição de “positivo” que adotamos, esta afirmação é quase tautológica: vamos separar “existência” e “unicidade”.
Existência:
- Como
é positivo, por definição existe algum com Portanto já temos a existência de pelo menos um predecessor .
Unicidade:
- Suponha que existem
tais que Então . Pelo axioma da injetividade do sucessor, disso segue . Portanto não podem existir dois distintos e com .
Conclusão: existe pelo menos um
e ele é único; logo existe exatamente um
tal que
.
Comentário final: as duas propriedades usadas (todo positivo é sucessor de alguém; e o sucessor é injetivo) são precisamente as que garantem que cada número positivo tem um predecessor único.
Resposta
a)
é positivo.
b) e
.
c) Existe exatamente um tal que
.
b)
c) Existe exatamente um