Questão 3. Com base na definição de números positivos acima, demonstre os seguintes resultados:
a) Se a é positivo e b é um número natural, prove que a+b é positivo.
b) Se a e b são números naturais tais que a+b=0, prove que a=0 e b=0.
c) Seja a um número positivo. Prove que existe exatamente um número natural b tal que s(b)=a.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais fatos vamos usar (peguei a definição de “número positivo” mencionada no enunciado).
O enunciado pede três coisas:
  • (a) Provar que, se a é positivo e b é natural, então a+b é positivo.
  • (b) Provar que, se a e b são naturais com a+b=0, então a=0 e b=0.
  • (c) Provar que, dado a positivo, existe exatamente um natural b tal que s(b)=a.
Informações/definições e propriedades que vou usar (essas são as propriedades “básicas” de \mathbb{N} e da adição no contexto de Peano, que o enunciado pressupõe):
  • A definição de “número positivo” usada aqui é: “um número a é positivo” significa que existe algum x com a = s(x). Em palavras: positivos são os sucessores (ou, equivalentemente, são exatamente os naturais que não são 0).
  • A adição é definida recursivamente por: a + 0 = a
a + s(b) = s(a + b)
para todos a,b\in\mathbb{N}.
  • Axiomas úteis dos naturais:
    • 0 não é sucessor de ninguém: não existe x com s(x)=0.
    • O sucessor é injetor: se s(x)=s(y) então x=y.
A resolução começará a usar essas definições e propriedades a partir do próximo passo.

Passo 2

Prova de (a): se a é positivo e b é natural, então a+b é positivo.
Explicação do plano antes de entrar nas contas: como “positivo” significa ser um sucessor, a ideia é mostrar que a+b também é um sucessor. Para isso usamos a definição recursiva da adição: a soma com 0 mantém o primeiro termo, e a soma com um sucessor produz um sucessor do que era antes. Faremos uma prova por indução em b (ou, equivalentemente, usamos diretamente a definição recursiva), mostrando que para todo b a soma a+b é um sucessor sempre que a é sucessor.
Detalhamento passo a passo:
  1. Como a é positivo, existe a'\in\mathbb{N} tal que
    a = s(a').
    (esta é a tradução da definição de “positivo”.)
  2. Caso-base: b=0.
    Usando a definição da adição,
    a + 0 = a = s(a').
    Logo a+0 é sucessor, isto é, é positivo.
  3. Passo indutivo: suponha que para um dado b vale que a+b é sucessor (positivo). Então, usando a regra da adição,
    a + s(b) = s(a + b).
    Pela hipótese indutiva a+b é algum número c, então s(a+b) é sucessor de c; em particular a+s(b) é sucessor, logo positivo.
  4. Conclusão por indução: para todo b\in\mathbb{N} tem-se que a+b é sucessor (positivo). Portanto, se a é positivo e b é natural, então a+b é positivo.
Observação pedagógica: aqui usamos a propriedade fundamental da adição recursiva: somar um sucessor ao segundo termo produz um sucessor do que seria a soma anterior, então a “qualidade de ser sucessor” se preserva ao somar qualquer natural.

Passo 3

Prova de (b): se a e b são naturais tais que a+b=0, prove que a=0 e b=0.
Vamos por contradição e pelas propriedades já apresentadas.
  1. Suponha a+b=0.
  2. Primeiro, mostro que a não pode ser um sucessor. Se a fosse um sucessor, então existiria a' com a=s(a'). Aplicando a definição da adição (ou o argumento do passo anterior), teríamos
    a + b = s(a' + b).
    Mas s(a' + b) é um sucessor, e pelos axiomas dos naturais nenhum sucessor pode ser igual a 0. Logo não pode acontecer s(a' + b)=0. Isso contradiz a hipótese a+b=0. Portanto a não é sucessor.
  3. Como todo natural é ou 0 ou um sucessor, e já vimos que a não é sucessor, deve ser a=0.
  4. Substituindo a=0 na hipótese a+b=0 obtemos
    0 + b = 0.
    Pela definição da adição, 0+b=b. Portanto b=0.
  5. Conclusão: a=0 e b=0, como queríamos provar.
Breve comentário: a propriedade-chave usada aqui foi que 0 não é sucessor de nenhum número e a definição da adição em que somar 0 deixa o outro número inalterado.

Passo 4

Prova de (c): seja a um número positivo. Prove que existe exatamente um número natural b tal que s(b)=a.
Novamente, pela definição de “positivo” que adotamos, esta afirmação é quase tautológica: vamos separar “existência” e “unicidade”.
Existência:
  • Como a é positivo, por definição existe algum b\in\mathbb{N} com a = s(b).Portanto já temos a existência de pelo menos um predecessor b.
Unicidade:
  • Suponha que existem b,c\in\mathbb{N} tais que s(b) = a = s\text{(c)}.Então s(b)=s\text{(c)}. Pelo axioma da injetividade do sucessor, disso segue b=c. Portanto não podem existir dois distintos b e c com s(b)=a.
Conclusão: existe pelo menos um b e ele é único; logo existe exatamente um b\in\mathbb{N} tal que s(b)=a.
Comentário final: as duas propriedades usadas (todo positivo é sucessor de alguém; e o sucessor é injetivo) são precisamente as que garantem que cada número positivo tem um predecessor único.

Resposta

a) a+b é positivo.
b) a=0 e b=0.
c) Existe exatamente um b\in\mathbb{N} tal que s(b)=a.

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