Questão 4. Sejam
e
números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
(Transitividade) Se
e
, então
.
(Transitividade) Se
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de transitividade da ordem entre números naturais: mostrar que, dados
, a partir de
e
segue-se
.
Informações fornecidas:
-
, e são números naturais. - As hipóteses são
e . - O objetivo é provar que a relação de ordem é transitiva, isto é, que
e satisfazem a relação de ordem indicada pela conclusão pedida.
Passo 2
Vamos lembrar (e usar) a definição padrão de ordem entre naturais. Explicar bem essa definição é essencial para conseguir provar a transitividade de forma direta.
Definição de ordem em
: dizemos que
se, e somente se, existe algum
tal que
Aqui
é um número natural que mede quanto
é maior que
. Essa é a definição que vamos aplicar: “maior ou igual” significa “é igual ao outro mais algum natural”.
Passo 3
Aplicar a definição à primeira hipótese
. Pela definição, existe algum
tal que
Expliquei:
é a diferença (não-negativa) entre
e
.
Passo 4
Aplicar a definição à segunda hipótese
. Assim, existe algum
tal que
Aqui
é a diferença entre
e
.
Passo 5
Substituir a expressão de
(do Passo 4) na expressão de
(do Passo 3). Fazendo a substituição obtemos
Passo 6
Usar propriedades básicas da adição em
. A adição de naturais é associativa e fechada em
, isto é, para quaisquer
tem-se
e
Portanto a igualdade do Passo 5 pode ser reescrita como
Passo 7
Definir
. Pelo comentário anterior,
. Assim chegamos à existência de um natural
tal que
Isso mostra, pela própria definição de ordem dada no Passo 2, que
está relacionado com
pela ordenação (isto é,
é
mais um natural).
Passo 8
Comentário final didático e motivador: a prova é curta porque a ordem em
foi definida via adição: compor as duas diferenças
e
dá a diferença total
. Observe os casos especiais: se
então
; se
então
. Em qualquer situação a soma
continua sendo um natural, então a conclusão permanece válida. Bom trabalho — é exatamente esse raciocínio direto que costuma cair nas provas!