Questão 4. Sejam a, b e c números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
(Transitividade) Se a \geq b e b \geq c, então a \geq c.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de transitividade da ordem entre números naturais: mostrar que, dados a,b,c\in\mathbb{N}, a partir de a\ge b e b\ge c segue-se a\ge c.
Informações fornecidas:
  • a, b e c são números naturais.
  • As hipóteses são a\ge b e b\ge c.
  • O objetivo é provar que a relação de ordem é transitiva, isto é, que a e c satisfazem a relação de ordem indicada pela conclusão pedida.

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) a definição padrão de ordem entre naturais. Explicar bem essa definição é essencial para conseguir provar a transitividade de forma direta.
Definição de ordem em \mathbb{N}: dizemos que x\ge y se, e somente se, existe algum t\in\mathbb{N} tal que
x = y + t.
Aqui t é um número natural que mede quanto x é maior que y. Essa é a definição que vamos aplicar: “maior ou igual” significa “é igual ao outro mais algum natural”.

Passo 3

Aplicar a definição à primeira hipótese a\ge b. Pela definição, existe algum k\in\mathbb{N} tal que
a = b + k.
Expliquei: k é a diferença (não-negativa) entre a e b.

Passo 4

Aplicar a definição à segunda hipótese b\ge c. Assim, existe algum l\in\mathbb{N} tal que
b = c + l.
Aqui l é a diferença entre b e c.

Passo 5

Substituir a expressão de b (do Passo 4) na expressão de a (do Passo 3). Fazendo a substituição obtemos
a = (c + l) + k.

Passo 6

Usar propriedades básicas da adição em \mathbb{N}. A adição de naturais é associativa e fechada em \mathbb{N}, isto é, para quaisquer k,l\in\mathbb{N} tem-se l+k\in\mathbb{N} e
(c + l) + k = c + (l + k).
Portanto a igualdade do Passo 5 pode ser reescrita como
a = c + (l + k).

Passo 7

Definir n := l + k. Pelo comentário anterior, n\in\mathbb{N}. Assim chegamos à existência de um natural n tal que
a = c + n.
Isso mostra, pela própria definição de ordem dada no Passo 2, que a está relacionado com c pela ordenação (isto é, a é c mais um natural).

Passo 8

Comentário final didático e motivador: a prova é curta porque a ordem em \mathbb{N} foi definida via adição: compor as duas diferenças k e l dá a diferença total n. Observe os casos especiais: se k=0 então a=b; se l=0 então b=c. Em qualquer situação a soma l+k continua sendo um natural, então a conclusão permanece válida. Bom trabalho — é exatamente esse raciocínio direto que costuma cair nas provas!

Resposta

\;a\ge b\\ \text{ e }\\ b\ge c\\ \Rightarrow\\ a\ge c\;

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