Questão 2.

a) Uma bolha de sabāo se forma na atmosfera. Qual o excesso de pressão em kPa no interior da bolha, quando seu diâmetro é de 2,0 \mathrm{~cm} e a tensāo superficial é de 30 dyn/cm?
b) calcule a pressão de vapor de uma goticula esférica de água, com raio de 10 nm , a 20^{\circ} \mathrm{C}. A pressão de vapor da ågua em uma grande massa, nessa temperatura, é 2,3 \mathrm{kPa} a sua densidade é 0,9982 \mathrm{~g} \mathrm{cm}^{-3} e sua tensão superficial 72 \mathrm{dyn} / \mathrm{cm}.
c) que valor de pressão impedirá a evaporação dessa gotícula?
Resolução
\_\_\_\_

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Perguntas:
    a) Qual o excesso de pressão no interior de uma bolha de sabão quando o diâmetro é 2{,}0\\ \mathrm{cm} e a tensão superficial é 30\\ \mathrm{dyn/cm} (responder em kPa)?
    b) Calcular a pressão de vapor de uma gotícula esférica de água de raio 10\\ \mathrm{nm} a 20^\circ\mathrm{C}. Dados: pressão de vapor sobre uma superfície plana da água nessa temperatura p_0=2{,}3\\ \mathrm{kPa}; densidade da água \rho=0{,}9982\\ \mathrm{g/cm^3}; tensão superficial \gamma=72\\ \mathrm{dyn/cm}.
    c) Qual valor de pressão impedirá a evaporação dessa gotícula?
  • Dados numéricos (pego do enunciado):
    • Para (a): diâmetro da bolha =2{,}0\\ \mathrm{cm} \Rightarrow raio R=1{,}0\\ \mathrm{cm}. Tensão superficial \gamma=30\\ \mathrm{dyn/cm}.
    • Para (b): raio da gotícula r=10\\ \mathrm{nm}. Temperatura 20^\circ\mathrm{C}. p_0=2{,}3\\ \mathrm{kPa}. \rho=0{,}9982\\ \mathrm{g/cm^3}. \gamma=72\\ \mathrm{dyn/cm}.

Passo 2

Entendendo e aplicando a fórmula para o excesso de pressão numa bolha de sabão (parte a).
  • Conceito (explicação didática): uma superfície curva de líquido exerce uma pressão adicional sobre o fluido interior devido à tensão superficial. Para uma única superfície esférica (gota líquida em vapor) a diferença de pressão entre interior e exterior vale \Delta P = \dfrac{2\gamma}{r}. Para uma bolha de sabão existe uma película com duas superfícies (interna e externa), cada uma contribuindo com \dfrac{2\gamma}{r}, de modo que a diferença total de pressão entre o interior da bolha e o exterior é
    \Delta P = \frac{4\gamma}{R},
    onde:
    • \Delta P é o excesso de pressão (Pa),
    • \gamma é a tensão superficial (N/m),
    • R é o raio da bolha (m).
  • Observação sobre unidades: o enunciado dá \gamma em dyn/cm. A conversão é 1\\ \mathrm{dyn/cm}=10^{-3}\\ \mathrm{N/m}. Também converter R para metros.

Passo 3

Cálculo numérico da parte (a) com todas as conversões bem explicadas.
  • Converter raio: R = 1{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Converter tensão superficial: \gamma = 30\\ \mathrm{dyn/cm} = 30\times 10^{-3}\\ \mathrm{N/m}=0{,}03\\ \mathrm{N/m}.
  • Aplicar \Delta P = \dfrac{4\gamma}{R}: \Delta P = \frac{4\cdot 0{,}03}{0{,}01} = \frac{0{,}12}{0{,}01}=12\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para kPa: 12\\ \mathrm{Pa}=0{,}012\\ \mathrm{kPa}.
  • Comentário amigável: portanto a bolha tem um excesso de pressão muito pequeno, apenas alguns Pascal — isso é comum em bolhas relativamente grandes (centímetros).

Passo 4

Preparação para a parte (b): apresentar a equação de Kelvin e explicar cada termo (aula curta).
  • Fórmula que relaciona a pressão de vapor sobre uma superfície curva com a pressão sobre uma superfície plana (equação de Kelvin, resultado do equilíbrio químico e da pressão capilar):
    \ln\!\left(\frac{p}{p_0}\right)=\frac{2\gamma V_m}{r R_{\text{g}} T},
    onde:
    • p é a pressão de vapor em equilíbrio com a gotícula de raio r,
    • p_0 é a pressão de vapor sobre uma superfície plana (a dada 2{,}3\\ \mathrm{kPa}),
    • \gamma é a tensão superficial do líquido (N/m),
    • V_m é o volume molar do líquido (m^3/mol),
    • r é o raio da gotícula (m),
    • R_{\text{g}} é a constante universal dos gases ( 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
    • T é a temperatura absoluta (K).
  • Intuição: superfícies convexas (gotículas pequenas) aumentam a pressão interna do líquido; isso eleva a energia química do líquido e, portanto, aumenta a pressão de vapor em equilíbrio. A equação de Kelvin dá o fator exponencial dessa elevação.

Passo 5

Calcular V_m (volume molar da água) e fazer as conversões necessárias.
  • Molaridade e densidade:
    • Massa molar da água M=18{,}015\\ \mathrm{g/mol}=0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.
    • Densidade dada \rho=0{,}9982\\ \mathrm{g/cm^3}. Converter para \mathrm{kg/m^3}: \rho=0{,}9982\\ \mathrm{g/cm^3}=998{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Volume molar: V_m=\frac{M}{\rho}=\frac{0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}}{998{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}} \approx 1{,}805\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Verificação de ordens de grandeza: 1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol} corresponde a 18\\ \mathrm{cm^3/mol}, que é o esperado para a água — bom sinal.

Passo 6

Aplicar a equação de Kelvin numericamente para a gotícula de raio r=10\\ \mathrm{nm}.
  • Converter dados:
    • r=10\\ \mathrm{nm}=10\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}=1{,}0\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}.
    • \gamma=72\\ \mathrm{dyn/cm}=72\times 10^{-3}\\ \mathrm{N/m}=0{,}072\\ \mathrm{N/m}.
    • Temperatura T=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
    • R_{\text{g}}=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
    • V_m\approx 1{,}805\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol} (do passo anterior).
  • Calcular o numerador e denominador da razão: 2\gamma V_m = 2\cdot 0{,}072\cdot 1{,}805\times 10^{-5}\approx 2{,}598\times 10^{-6}\\ \mathrm{J\cdot m/mol},
r R_{\text{g}} T = 1{,}0\times 10^{-8}\cdot 8{,}314\cdot 293{,}15 \approx 2{,}439\times 10^{-5}\\ \mathrm{J\cdot m/mol}.
(as unidades se cancelam corretamente para produzir um número adimensional no logaritmo).
  • Razão e exponenciação: \ln\!\left(\frac{p}{p_0}\right)=\frac{2\gamma V_m}{r R_{\text{g}} T}\approx\frac{2{,}598\times 10^{-6}}{2{,}439\times 10^{-5}}\approx 0{,}1066.
\frac{p}{p_0}=e^{0{,}1066}\approx 1{,}1125.
  • Finalmente: p = 1{,}1125\cdot p_0 = 1{,}1125\cdot 2{,}3\\ \mathrm{kPa}\approx 2{,}56\\ \mathrm{kPa}.
  • Interpretação curta: a gotícula de raio 10\\ \mathrm{nm} tem uma pressão de vapor em equilíbrio cerca de 11{,}25\% maior que a água plana a 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Responder a parte (c): que pressão impede a evaporação da gotícula.
  • Explicação didática curta: para que a gotícula não evapore, a pressão parcial do vapor na vizinhança deve ser igual ou maior que a pressão de vapor de equilíbrio p calculada para essa gotícula. Ou seja, se o vapor circundante tiver pressão p\ge p (valor obtido na parte b), não haverá tendência líquidovapor de evaporação líquida.
  • Conclusão direta: o valor de pressão do vapor que impede a evaporação é o p encontrado na parte (b): aproximadamente 2{,}56\\ \mathrm{kPa}. (Se a pressão parcial do vapor for menor, a gotícula tende a evaporar.)

Resposta

0,012\\ \mathrm{kPa}
2,56\\ \mathrm{kPa}
2,56\\ \mathrm{kPa}

Exercícios relacionados