Esboce todos os possíveis estereoisômeros de
\left[\mathrm{Cd}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)_{2} \mathrm{Cl}_{2}\right] tetraédrico;

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: “Esboce todos os possíveis estereoisômeros de \left[\mathrm{Cd}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)_{2}\mathrm{Cl}_{2}\right] tetraédrico.” Ou seja, determinar todas as disposições não-equivalentes dos ligantes (duas moléculas de \mathrm{H_{2}O} idênticas e dois íons \mathrm{Cl^{-}} idênticos) em torno de um cátion \mathrm{Cd}^{2+} com geometria tetraédrica, e mostrar (esboçar) cada estereoisômero possível.
  • Informações relevantes:
    • Centro: \mathrm{Cd}^{2+}.
    • Quatro posições ao redor do centro, geometria tetraédrica (ângulos ideais entre ligações \approx 109{,}5^\circ).
    • Ligantes: dois iguais do tipo A=\mathrm{H_{2}O} e dois iguais do tipo B=\mathrm{Cl^{-}} — portanto o sistema é do tipo MA_{2}B_{2} com simetria tetraédrica possível.
  • Objetivo prático: encontrar todas as arrumações distintas de 2 ligantes A e 2 ligantes B nos 4 vértices de um tetraedro, lembrando que duas arrumações que se transformam uma na outra por uma rotação do tetraedro são equivalentes (não contam como isômeros distintos). Se a imagem-espelho de uma arrumação não for superponível por rotação, então existe um par de enantiômeros; caso contrário a molécula é achiral.

Passo 2

Entendendo a geometria tetraédrica e o que significa “arranjos distintos”.
  • Um tetraedro tem quatro vértices equivalentes. Colocar ligantes nos vértices significa escolher quais vértices recebem A e quais recebem B.
  • Dois arranjos são considerados o mesmo estereoisômero se for possível girar (rotacionar) todo o tetraedro de modo a levar um arranjo exatamente no outro. Reflexões (imagens no espelho) que não possam ser alcançadas por rotações produzem enantiômeros distintos.
  • No tetraedro todas as rotações próprias (só rotações, sem reflexão) formam o grupo de simetria de rotação T (12 rotações). Para contar estereoisômeros devemos considerar equivalência por esse grupo de rotações.
Explicação intuitiva: imagine um pirulito tetraédrico com 4 hastes. Se pintar duas hastes de azul ( A) e duas de vermelho ( B), algumas pinturas poderão ser giradas na mão para coincidir; outras não. Nosso trabalho é ver quantas pinturas diferentes sobrevivem depois de considerar todas as rotações possíveis.

Passo 3

Contagem direta e raciocínio simples (sem Burnside formalizado): por que não há mais de um isômero?
  • Sem considerar simetria, o número de maneiras de escolher 2 vértices dentre 4 para colocar A é \binom{4}{2}=6. Mas muitas dessas 6 são equivalentes por rotação.
  • Pegue uma distribuição qualquer: coloque os dois \mathrm{Cl^{-}} (ou as duas \mathrm{H_{2}O}) em dois vértices quaisquer. Agora pergunte: existem distribuições que NÃO podem ser obtidas por rotacionar essa primeira? Para o tetraedro a resposta é não — todas as escolhas de dois vértices para um mesmo tipo de ligante são rotacionalmente equivalentes ou se agrupam em classes de equivalência pequenas.
  • Um modo mais direto de ver isso: fixe um vértice e coloque ali um ligante B. A partir desse vértice fixo, os três vértices restantes são todos equivalentes entre si (há rotações que levam qualquer um desses três ao outro). Portanto, a posição do segundo B (escolhendo entre esses três) não gera uma nova forma única: todas as três escolhas são transformáveis umas nas outras por rotação. Conclusão: não há distinção rotacional entre “segundo B ao lado do primeiro” em diferentes vértices — todas dão a mesma geometria após rotação.
Resumo curto: embora existam 6 maneiras de distribuir dois A e dois B em 4 vértices, todas essas distribuições caem na mesma classe quando se permite rotacionar o tetraedro. Logo resta apenas 1 disposição não-equivalente por rotação.

Passo 4

Verificação por argumento mais formal (Burnside, em linguagem simples) — só para convencer de forma sólida.
  • Considere todas as rotações próprias do tetraedro (12 no total). Para aplicar o princípio de contagem (Burnside) pergunta-se, para cada rotação, quantas colorizações ( A ou B em cada vértice) ficam inalteradas por essa rotação.
  • Identificando rapidamente:
    • Rotação identidade: fixa todas as 6 colorizações ( \binom{4}{2}=6).
    • Rotação de 120^\circ (em torno de um vértice): teria de deixar três vértices cíclicos com mesma cor, o que exigiria uma distribuição 3:1 — impossível para 2 e 2. Portanto essas rotações fixam 0 colorizações.
    • Rotação de 180^\circ (em torno do eixo que troca dois pares de vértices): exige que cada par trocado seja de cor igual; existem exatamente 2 colorizações 2+2 que cumprem isso (cada par uniformizado com uma cor). Cada uma dessas rotações fixa 2 colorizações.
  • Média pelo grupo: \dfrac{6 + 8\cdot 0 + 3\cdot 2}{12} = \dfrac{12}{12}=1. Portanto uma única configuração inequívoca sob rotações. (Isto confirma o passo anterior.)

Passo 5

Implicação sobre quiralidade (imagem no espelho) — existe enantiômero?
  • Precisamos perguntar: a imagem no espelho do arranjo encontrado pode ser rotacionada para coincidir com o original? Se sim, a molécula é achiral; se não, existe um par de enantiômeros.
  • Para o caso MA_{2}B_{2} tetraédrico (duas e duas iguais), a configuração única encontrada tem, na verdade, planos e/ou eixos de simetria que tornam a imagem no espelho sobreponível por rotação. Em outras palavras, a estrutura é achiral — não há par de enantiômeros.
  • Conclusão: não existem enantiômeros distintos aqui; apenas um estereoisômero, que é achiral.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo-a-passo para desenhar o único estereoisômero):
  1. Desenhe um tetraedro esquemático ou, mais simples para química, coloque o \mathrm{Cd} no centro e desenhe quatro linhas para fora apontando para quatro posições tetraédricas:
    • Uma ligação saindo para frente (representar com um triângulo cheio/wedge).
    • Uma ligação para trás (representar com traços pontilhados).
    • Duas ligações no plano da folha (linhas simples).
  2. Coloque os dois \mathrm{Cl^{-}} em duas dessas posições quaisquer (por exemplo: uma no wedge para frente e outra em uma linha no plano). Coloque as duas \mathrm{H_{2}O} nas duas posições restantes (uma no dash para trás e outra no plano).
  3. Dica: como todas as disposições são equivalentes por rotação, qualquer escolha de duas posições para \mathrm{Cl^{-}} dá o mesmo isômero depois de girar o desenho. Portanto não precisa desenhar várias variantes; um único desenho (com as duas Cl em quaisquer duas posições) representa todos os estereoisômeros possíveis, porque os demais são rotacionalmente equivalentes.
  4. Anotar no esboço: ângulo entre ligações \approx 109{,}5^\circ (típico do tetraedro) e indicar que há 2 \mathrm{Cl^{-}} e 2 \mathrm{H_{2}O}.

Passo 7

Interpretação química e conselho para a prova (como justificar em poucas linhas):
  • Escreva: “Para um complexo tetraédrico MA_{2}B_{2} existe apenas um arranjo estereoquímico não-equivalente por rotação; a molécula é achiral; portanto \left[\mathrm{Cd}(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O})_{2}\mathrm{Cl}_{2}\right] em geometria tetraédrica possui apenas um estereoisômero.”
  • Se precisar, mostre um desenho simples como descrito no passo anterior e mencione que quaisquer outros desenhos são rotações desse desenho.

Resposta

Apenas um estereoisômero não-equivalente por rotação (molécula achiral): coloque as duas \mathrm{Cl^{-}} em duas posições quaisquer do tetraedro e as duas \mathrm{H_{2}O} nas duas restantes (todas as disposições são rotacionalmente equivalentes).

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