Questão 7: Uma bomba multicelular de 3 estágios, cujo coeficiente de cavitação dos seus rotores é igual a 0,083 ; deve trabalhar numa instalação construída numa cidade com pressão atmosférica local de 92,5 \mathrm{kPa}. O ponto de operação desta bomba funcionando num sistema, cujo desnível geométrico é 50 m , e ambos reservatórios abertos, é uma altura manométrica de 96 m e uma vazão recalcada de 150 \mathrm{~L} / \mathrm{min} de água a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Nesta condição
de trabalho, a perda na sucção é igual a 5% da perda de carga total e a velocidade do fluido na entrada do rotor é igual a 3,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabe-se que o diâmetro da tubulação de sucção é igual a 50 mm . Determine a altura máxima de instalação desta bomba para evitar a cavitação e avalie se a mesma deverá trabalhar obrigatoriamente afogada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Coeficiente de cavitação dos rotores: \sigma_{\rm req}=0{,}083.
  • Pressão atmosférica local: p_a=92{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • Ponto de operação: altura manométrica H=96\\ \mathrm{m} e vazão Q=150\\ \mathrm{L/min}.
  • Temperatura da água: 30^\circ\mathrm{C}.
  • Desnível geométrico entre reservatórios: 50\\ \mathrm{m}.
  • Ambos reservatórios abertos.
  • Na condição dada, a perda na sucção é igual a 5\% da perda de carga total.
  • Velocidade do fluido na entrada do rotor: V=3{,}1\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetro da tubulação de sucção: d=50\\ \mathrm{mm}.
Valores que vou usar (e suas fontes/racional):
  • Converter Q para unidades SI: Q=150\\ \mathrm{L/min}=0{,}150\\ \mathrm{m^3/min}=0{,}150/60=0{,}0025\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Pressão de vapor da água a 30^\circ\mathrm{C}: vou usar p_v \approx 4{,}246\\ \mathrm{kPa} (valor tabelado).
  • Densidade da água a 30^\circ\mathrm{C}: \rho \approx 996\\ \mathrm{kg/m^3} (valor aproximado tabelado).
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
  1. Determinar a altura máxima de instalação da bomba para evitar cavitação (interpreto isto como a máxima elevação da bomba em relação à superfície livre do reservatório de sucção; se esse valor for negativo, a bomba precisa ficar abaixo da superfície).
  2. Avaliar se a bomba deverá trabalhar obrigatoriamente afogada (ou seja, submersa).

Passo 2

Entendendo a teoria necessária — o que é preciso para evitar cavitação e quais fórmulas usar.
Conceitos e fórmulas (explicação didática):
  • NPSH disponível ( \mathrm{NPSH}_A) é a “carga líquida positiva sobre a pressão de vapor” na entrada do rotor; mede quanta pressão (em metros de coluna de fluido) existe acima da pressão de vapor no olho do rotor. Se \mathrm{NPSH}_A for menor que o necessário para o rotor ( \mathrm{NPSH}_{\rm req}), ocorre cavitação.
  • Relação entre coeficiente de cavitação \sigma e \mathrm{NPSH}: muitos fabricantes e textos usam o coeficiente adimensional
\sigma=\frac{\mathrm{NPSH}}{H},
ou seja,
\mathrm{NPSH}=\sigma\;H.
Assim, o coeficiente de cavitação do rotor \sigma_{\rm req} traduz-se em uma \mathrm{NPSH}_{\rm req}=\sigma_{\rm req}\,H (unidade: metros).
  • Expressão prática da \mathrm{NPSH}_A para bomba situada a uma elevação z_p acima da superfície livre do reservatório de sucção (tomando a superfície livre do reservatório como referência de altura zero):
\mathrm{NPSH}_A=\frac{p_a-p_v}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}-h_{f,suc}-z_p.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{p_a-p_v}{\rho g}: diferença entre pressão atmosférica e pressão de vapor convertida em metros de coluna de fluido — é a “carga estática disponível” devido à pressão externa menos o que já é vapor.
  • \dfrac{V^2}{2g}: cabeça de velocidade no olho do rotor (energia cinética por unidade de peso que contribui para elevar a pressão local).
  • h_{f,suc}: perdas de carga da sucção (em metros) entre a superfície livre e o olho do rotor.
  • z_p: elevação da bomba em relação à superfície livre do reservatório de sucção (positivo se a bomba estiver acima da superfície; se a bomba estiver abaixo da superfície, z_p é negativo).
  • Condição de não cavitação:
\mathrm{NPSH}_A \ge \mathrm{NPSH}_{\rm req} = \sigma_{\rm req}\,H.
  • A tarefa prática: isolar z_p para achar a máxima elevação admissível z_{p,\max} que satisfaça a desigualdade (colocamos igualdade para o caso limite):
z_{p,\max}=\frac{p_a-p_v}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}-h_{f,suc}-\sigma_{\rm req}\,H.
Se z_{p,\max}>0 a bomba pode ficar até esse valor acima da superfície; se z_{p,\max}<0 a bomba deve ficar submersa pelo valor |z_{p,\max}|.
Observação sobre perdas: o enunciado informou que a perda na sucção é 5\% da perda de carga total. Em sistemas com reservatórios abertos, a altura manométrica H é a soma do desnível geométrico mais as perdas totais:
H = \Delta z_{\rm geom} + h_{f,tot}.
Portanto h_{f,tot}=H-\Delta z_{\rm geom} e h_{f,suc}=0{,}05\,h_{f,tot}.

Passo 3

Calcular passo a passo todos os termos numéricos que entram em z_{p,\max}.
  1. Converter e calcular valores iniciais
  • Vazão:
Q=150\\ \mathrm{L/min}=0{,}150\\ \mathrm{m^3/min}=\frac{0{,}150}{60}=0{,}0025\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Altura manométrica:
H=96\\ \mathrm{m}.
  • Desnível geométrico:
\Delta z_{\rm geom}=50\\ \mathrm{m}.
  • Perdas totais:
h_{f,tot}=H-\Delta z_{\rm geom}=96-50=46\\ \mathrm{m}.
  • Perda na sucção (5% de h_{f,tot}):
h_{f,suc}=0{,}05\cdot 46=2{,}30\\ \mathrm{m}.
  1. Cabeça de velocidade no olho do rotor
    Usamos a velocidade fornecida na entrada do rotor V=3{,}1\\ \mathrm{m/s}:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(3{,}1)^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{9{,}61}{19{,}62}\approx 0{,}490\\ \mathrm{m}.
  1. Termo \dfrac{p_a-p_v}{\rho g}
  • Pressão atmosférica: p_a=92{,}5\\ \mathrm{kPa}=92\,500\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão de vapor a 30^\circ\mathrm{C}: p_v\approx 4{,}246\\ \mathrm{kPa}=4\,246\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade aproximada: \rho=996\\ \mathrm{kg/m^3}.
\frac{p_a-p_v}{\rho g}=\frac{92\,500-4\,246}{996\cdot 9{,}81}=\frac{88\,254}{9\,770{,}76}\approx 9{,}036\\ \mathrm{m}.
  1. \mathrm{NPSH}_{\rm req}=\sigma_{\rm req}\,H
\mathrm{NPSH}_{\rm req}=0{,}083\cdot 96=7{,}968\\ \mathrm{m}.
  1. Agora montar z_{p,\max}:
z_{p,\max}=\frac{p_a-p_v}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}-h_{f,suc}-\sigma_{\rm req}\,H.
Substituindo os valores numéricos:
z_{p,\max}=9{,}036 + 0{,}490 - 2{,}300 - 7{,}968.
Fazendo as somas/subtrações:
9{,}036 + 0{,}490 = 9{,}526,
9{,}526 - 2{,}300 = 7{,}226,
7{,}226 - 7{,}968 = -0{,}742\\ \mathrm{m}.
Resultado numérico: z_{p,\max}\approx -0{,}742\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Interpretação física do resultado e verificação de consistência.
  • O valor obtido z_{p,\max} é negativo: -0{,}742\\ \mathrm{m}. Isso significa que, para exatamente atingir a \mathrm{NPSH} mínima requerida pelo rotor, a bomba deve ficar 0{,}742\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre do reservatório de sucção. Em outras palavras, a instalação da bomba acima da superfície livre não é permitida; a bomba tem de estar submersa por pelo menos 0{,}742\\ \mathrm{m} para evitar cavitação.
  • Portanto, a bomba deverá trabalhar afogada (submersa) — ou seja, sim, ela deverá trabalhar obrigatoriamente afogada, com a geometria dada e nas condições informadas.
Observação sobre a tubulação de sucção e a velocidade:
  • Se calcularmos a velocidade média na tubulação de sucção a partir de Q e d:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(0{,}05)^2}{4}\approx 1{,}963\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2},
V_{\rm tubo}=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0025}{1{,}963\times 10^{-3}}\approx 1{,}27\\ \mathrm{m/s}.
Isso é diferente da velocidade na entrada do rotor fornecida ( 3{,}1\\ \mathrm{m/s}). Como a \mathrm{NPSH} deve ser avaliada na entrada do rotor, usamos V=3{,}1\\ \mathrm{m/s} conforme o enunciado. A diferença apenas indica que o olho do rotor tem uma área menor que a tubulação de sucção (situação comum) ou que há uma contrição entre a tubulação e o olho do rotor. Em todo caso, o uso de V=3{,}1\\ \mathrm{m/s} está correto para o cálculo de \mathrm{NPSH}_A.

Resposta

z_{p,\max} \approx -0{,}742\\ \mathrm{m} (ou seja, a bomba deve ficar, no mínimo, 0{,}742\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre de sucção)\nSim — a bomba deverá trabalhar obrigatoriamente afogada.

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