Questão 4 - Cada uma das 2 barras uniformes articuladas tem uma massa m e um comprimento l, e está apoiada e carregada como mostrado. Para uma dada força P, cuja linha de ação descreve um ângulo alpha com a horizontal, determine o ângulo theta para haver equilibrio.

Passo 1

O enunciado apresenta um bastão homogêneo de massa m e comprimento l, articulado em um pivô no ponto O no seu extremo inferior, e submetido a duas forças:
– o peso ,mg atuando verticalmente para baixo em seu ponto médio;
– uma força externa P aplicada no extremo livre do bastão, cuja direção forma um ângulo alpha com a horizontal.
Queremos achar o ângulo theta que o bastão faz com a horizontal quando está em equilíbrio estático. Para isso vamos usar a condição de soma dos momentos nulos em torno do pivô.

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre do bastão, temos três forças:
1. Reação desconhecida R no pivô O (não contribui para momento em O).
2. Peso ,mg aplicado em G, o ponto médio do bastão, cuja distância ao pivô é tfrac l2 e cuja linha de ação é vertical.
3. Força P aplicada em B, o extremo livre, à distância l de O, com direção fazendo ângulo alpha contra a horizontal.

Passo 3

Para equilíbrio tomamos momentos em torno de O (positivo no sentido anti-hor’ario).
- Momento do peso mg: a dist^ancia horizontal de G ao piv’o `e l2costheta, logo
Mmg = mg;l(tfrac l2costhetar)
- Momento da for\c{c}a P: o braço perpendicular de P em B vale
l;sinl(alpha - thetar),
de onde
MP = P;l;sinl(alpha - thetar)

Passo 4

Impondo sum MO=0, o momento de P (anti-hor’ario) deve equilibrar o momento do peso (hor’ario):
P,l,sin(alpha-theta);-;mg;tfrac l2costheta ;=;0
Cancelando lneq0,
Psin(alpha-theta)=mg2,costheta

Passo 5

Desenvolvendo sin(alpha-theta)=sinalphacostheta-cosalphasintheta, obtemos
Pl(sinalphacostheta - cosalphasinthetar) =mg2costheta
Reagrupando e dividindo por costheta:
Psinalpha - Pcosalpha,tantheta = mg2 Longrightarrow Pcosalpha,tantheta = Psinalpha - mg2
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tantheta = Psinalpha - tfrac12,mgPcosalpha

Resposta

tantheta = Psin(alpha);-;dfracmg2Pcos(alpha)

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