2.82 Uma força atua na origem de um sistema de coordenadas na direção definida pelos ângulos thetax=70,9^circ e thetay=144,9^circ. Sabendo que a componente z da força é -52.0 N , determine (a) o ângulo thetaz, (b) os outros componentes e a intensidade da força.

Passo 1

O enunciado diz que uma força F atua na origem, fazendo ângulos thetax=70,9^circ e thetay=144,9^circ com os eixos x e y, respectivamente, e que sua componente z vale -52,0 N.
Conteúdo: usaremos as cosêncoss das direções (direction cosines) e a relação
cos^2thetax+cos^2thetay+cos^2thetaz=1
para achar thetaz, depois determinamos os demais componentes Fx,,Fy e o módulo F.

Passo 2

Calculamos costhetax e costhetay a partir dos ângulos:
costhetax=cos(70,9^circ)approx0,326, costhetay=cos(144,9^circ)approx-0,819

Passo 3

Usamos a normalização das direção cosines para obter costhetaz:
cos^2thetaz =1-cos^2thetax-cos^2thetay =1-0,326^2-(-0,819)^2 approx0,224
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costhetaz=pmraiz0,224approxpm0,473
Como Fz=Fcosthetaz=-52,0 N é negativo e F>0, devemos escolher
costhetaz=-0,473.

Passo 4

O ângulo thetaz é dado por
thetaz=arccos(costhetaz) =arccos(-0,473)approx118,2^circ

Passo 5

Para achar o módulo F, isolamos em Fz=Fcosthetaz:
F=Fzcosthetaz =-52,0-0,473approx110,0 N

Passo 6

Finalmente os outros componentes vêm de
Fx=Fcosthetax approx110,0times0,326approx35,9 N,
Fy=Fcosthetay approx110,0times(-0,819)approx-90,1 N

Resposta

(a) thetazapprox118,2^circ.
(b) Fxapprox35,9 N, Fyapprox-90,1 N, Fz=-52,0 N, e lVertFrVertapprox110,0 N.

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