QUESTÃO 2: Para cada uma das funções a seguir, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede para determinar
. Informações relevantes:
-
é a variável independente. -
é uma função de (ou seja, ); portanto existe. -
pode ser vista como função de (isto é, ) ou, em muitas aplicações, pode ser uma constante (nível) — vou tratar primeiro o caso geral onde depende de e depois o caso particular constante. - Não vamos assumir nada além do que está acima; vamos diferenciar a igualdade em relação a
.
Passo 2
Para diferenciar ambos os lados em relação a
precisamos lembrar a regra do produto: se
e
, então
Aqui, no termo
, podemos tomar
(cuja derivada é
) e
(cuja derivada é
). Vou aplicar essa regra passo a passo.
Passo 3
Derivando ambos os lados de
em relação a
temos, termo a termo:
-
. -
(pela regra do produto, pois ). -
. -
(constante).
Portanto obtemos a igualdade
Passo 4
Agora isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
(quando
):
Expliquei cada passo: fiz a derivada do produto, somei as derivadas dos termos e então resolvi algebricamente para
.
Passo 5
Casos especiais e interpretações úteis para a prova:
- Caso comum em provas: se
for uma constante (isto é, estivermos no nível constante), então e obtemos
- Atenção a
: nossa expressão para exige dividir por . Se , da equação diferenciada antes de dividir temos
Se além disso
for constante (portanto
), então
e assim
no ponto com
. Em resumo: a fórmula fechada exige
; para
há que analisar a equação original e a equação diferenciada sem dividir por
.
Resposta
(se