QUESTÃO 2: Para cada uma das funções a seguir, determine \frac{d y}{d x}.
z=x y+x-10

Passo 1

O enunciado dá a relação
z = x\,y + x - 10
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}. Informações relevantes:
  • \,x é a variável independente.
  • \,y é uma função de x (ou seja, y = y(x)); portanto \dfrac{dy}{dx} existe.
  • \,z pode ser vista como função de x (isto é, z = z(x)) ou, em muitas aplicações, pode ser uma constante (nível) — vou tratar primeiro o caso geral onde z depende de x e depois o caso particular z constante.
  • Não vamos assumir nada além do que está acima; vamos diferenciar a igualdade em relação a x.

Passo 2

Para diferenciar ambos os lados em relação a x precisamos lembrar a regra do produto: se u=u(x) e v=v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u\,v\big)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.
Aqui, no termo x\,y, podemos tomar u=x (cuja derivada é \dfrac{du}{dx}=1) e v=y(x) (cuja derivada é \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{dy}{dx}). Vou aplicar essa regra passo a passo.

Passo 3

Derivando ambos os lados de \;z = x\,y + x - 10\; em relação a x temos, termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(z)=\dfrac{dz}{dx}.
  • \dfrac{d}{dx}(x\,y)=x\frac{dy}{dx}+y (pela regra do produto, pois \dfrac{d}{dx}x=1).
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • \dfrac{d}{dx}(-10)=0 (constante).
Portanto obtemos a igualdade
\frac{dz}{dx}=x\frac{dy}{dx}+y+1.

Passo 4

Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Subtraindo y+1 dos dois lados:
\frac{dz}{dx}-y-1 = x\frac{dy}{dx}.
Dividindo por x (quando x\neq 0):
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dz}{dx}-y-1}{x},\qquad x\neq 0.
Expliquei cada passo: fiz a derivada do produto, somei as derivadas dos termos e então resolvi algebricamente para \dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Casos especiais e interpretações úteis para a prova:
  • Caso comum em provas: se z for uma constante (isto é, estivermos no nível z= constante), então \dfrac{dz}{dx}=0 e obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{y+1}{x},\qquad x\neq 0.
  • Atenção a x=0: nossa expressão para \dfrac{dy}{dx} exige dividir por x. Se x=0, da equação diferenciada antes de dividir temos
\frac{dz}{dx}=0\cdot\frac{dy}{dx}+y+1 \implies \frac{dz}{dx}=y+1.
Se além disso z for constante (portanto \dfrac{dz}{dx}=0), então y+1=0 e assim y=-1 no ponto com x=0. Em resumo: a fórmula fechada exige x\neq 0; para x=0 há que analisar a equação original e a equação diferenciada sem dividir por x.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dz}{dx}-y-1}{x} para x\neq 0.
(se z for constante) \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{y+1}{x} para x\neq 0.

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