Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(g) 1 / x-17=0, x_{0}=0.05

Passo 1

O enunciado pede: a partir da aproximação inicial x_{0}=0{,}05, aplicar o método de Newton e calcular quatro passos (ou seja, obter x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}). A equação dada é
\frac{1}{x}-17=0.
Informações fornecidas:
  • A função que queremos zerar é f(x)=\dfrac{1}{x}-17.
  • A aproximação inicial é x_{0}=0{,}05.
  • Pede-se calcular quatro iterados do método de Newton: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 2

Breve revisão do método de Newton (passo a passo, sem pular etapas).
  • Ideia: a cada iteração substitui-se a função por sua aproximação linear (reta tangente) no ponto atual x_n e usa-se a raiz dessa reta como próxima aproximação.
  • Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f(x) é a função cujo zero queremos e f'(x) a sua derivada. x_n é a aproximação atual e x_{n+1} a próxima.
Agora calculemos f e f' para o nosso caso:
f(x)=\frac{1}{x}-17, \qquad f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{\dfrac{1}{x_n}-17}{-\dfrac{1}{x_n^{2}}}.
Simplificando essa expressão (faça isso na prova; é um truque que evita divisões repetidas):
x_{n+1}=x_n+\biggl(\frac{1}{x_n}-17\biggr)x_n^{2} = x_n + x_n -17 x_n^{2} =2x_n-17x_n^{2}.
Portanto a iteração fica muito simples:
\boxed{\,x_{n+1}=2x_n-17x_n^{2}\,}
Isto facilita muito os cálculos à mão.

Passo 3

Cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=0{,}05.
Use a fórmula x_{1}=2x_{0}-17x_{0}^{2}.
Calcule passo a passo:
x_{0}=0{,}05=\frac{1}{20}, \qquad x_{0}^{2}=0{,}05^{2}=0{,}0025.
17x_{0}^{2}=17\cdot0{,}0025=0{,}0425, \qquad 2x_{0}=2\cdot0{,}05=0{,}10.
Logo
x_{1}=0{,}10-0{,}0425=0{,}0575.
Também em forma de fração: x_{1}=\dfrac{23}{400}=0{,}0575.

Passo 4

Cálculo de x_{2} a partir de x_{1}=0{,}0575.
Usando x_{2}=2x_{1}-17x_{1}^{2}.
Primeiro x_{1}^{2}=\bigl(\dfrac{23}{400}\bigr)^{2}=\dfrac{529}{160000}=0{,}00330625.
17x_{1}^{2}=17\cdot\frac{529}{160000}=\frac{8993}{160000}=0{,}05620625.
2x_{1}=2\cdot\frac{23}{400}=\frac{46}{400}=\frac{18400}{160000}=0{,}115.
Agora
x_{2}=0{,}115-0{,}05620625=0{,}05879375.
Como fração exata obtivemos x_{2}=\dfrac{9407}{160000}=0{,}05879375.

Passo 5

Cálculo de x_{3} a partir de x_{2}= \dfrac{9407}{160000}.
Usando x_{3}=2x_{2}-17x_{2}^{2}. Para manter exatidão fazemos os cálculos em frações:
x_{2}^{2}=\frac{9407^{2}}{160000^{2}}=\frac{88\,491\,649}{25\,600\,000\,000}.
17x_{2}^{2}=\frac{17\cdot88\,491\,649}{25\,600\,000\,000}=\frac{1\,504\,358\,033}{25\,600\,000\,000}.
2x_{2}=\frac{2\cdot9407}{160000}=\frac{18\,814}{160000}=\frac{3\,010\,240\,000}{25\,600\,000\,000}.
Subtraindo:
x_{3}=\frac{3\,010\,240\,000-1\,504\,358\,033}{25\,600\,000\,000}=\frac{1\,505\,881\,967}{25\,600\,000\,000}.
Convertendo para decimal (dividindo com cuidado) obtemos, com precisão suficiente para a prova,
x_{3}\approx 0{,}058823514335937.
Observe que a raiz exata da equação é r=\dfrac{1}{17}\approx0{,}0588235294117647, então já estamos muito próximos após três iterações.

Passo 6

Cálculo de x_{4} e comentário sobre a rapidez da convergência.
Uma observação muito útil (que também facilita o cálculo de x_{4} sem multiplicações enormes) é analisar o erro em torno da raiz exata r=\dfrac{1}{17}. Defina e_n=x_n-r. Usando a forma iterativa g(x)=2x-17x^{2} e expandindo g(r+e) em potência de e, notamos que a parte linear em e se anula porque r satisfaz 2r-17r^{2}=r. Fazendo a expansão (ou simplesmente substituir x=r+e e simplificar) obtém-se exatamente
e_{n+1}=-17\,e_{n}^{2}.
Isto mostra convergência quadrática: o erro do próximo passo é proporcional ao quadrado do erro atual — ou seja, cai extremamente rápido.
Usando isso para passar de x_{3} para x_{4}:
  • Primeiro calcule o erro e_{3}=x_{3}-r. Com r=\dfrac{1}{17}\approx0{,}0588235294117647 e x_{3}\approx0{,}058823514335937 temos
e_{3}\approx -1{,}5069\times10^{-8}.
(negativo porque x_{3}<r.)
  • Então
e_{4}=-17\,e_{3}^{2}\approx -17\cdot(1{,}5069\times10^{-8})^{2}\approx -3{,}86\times10^{-15}.
  • Logo
x_{4}=r+e_{4}\approx \frac{1}{17}-3{,}86\times10^{-15}\approx 0{,}0588235294117647
com precisão até cerca de 15 casas decimais (o termo subtraído é muito pequeno).
Portanto, depois de quatro passos já alcançamos praticamente a raiz com erro da ordem de 10^{-15}.

Resposta

x_{1}=0{,}0575
x_{2}=0{,}05879375
x_{3}\approx0{,}058823514335937
x_{4}\approx0{,}0588235294117647

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