Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede: a partir da aproximação inicial
, aplicar o método de Newton e calcular quatro passos (ou seja, obter
). A equação dada é
Informações fornecidas:
- A função que queremos zerar é
. - A aproximação inicial é
. - Pede-se calcular quatro iterados do método de Newton:
.
Passo 2
Breve revisão do método de Newton (passo a passo, sem pular etapas).
- Ideia: a cada iteração substitui-se a função por sua aproximação linear (reta tangente) no ponto atual
e usa-se a raiz dessa reta como próxima aproximação. - Fórmula do método de Newton:
Aqui
é a função cujo zero queremos e
a sua derivada.
é a aproximação atual e
a próxima.
Agora calculemos
e
para o nosso caso:
Substituindo na fórmula de Newton:
Simplificando essa expressão (faça isso na prova; é um truque que evita divisões repetidas):
Portanto a iteração fica muito simples:
Isto facilita muito os cálculos à mão.
Passo 3
Cálculo de
a partir de
.
Use a fórmula
.
Calcule passo a passo:
Logo
Também em forma de fração:
Passo 4
Cálculo de
a partir de
.
Usando
.
Primeiro
Agora
Como fração exata obtivemos
Passo 5
Cálculo de
a partir de
.
Usando
. Para manter exatidão fazemos os cálculos em frações:
Subtraindo:
Convertendo para decimal (dividindo com cuidado) obtemos, com precisão suficiente para a prova,
Observe que a raiz exata da equação é
, então já estamos muito próximos após três iterações.
Passo 6
Cálculo de
e comentário sobre a rapidez da convergência.
Uma observação muito útil (que também facilita o cálculo de
sem multiplicações enormes) é analisar o erro em torno da raiz exata
. Defina
. Usando a forma iterativa
e expandindo
em potência de
, notamos que a parte linear em
se anula porque
satisfaz
. Fazendo a expansão (ou simplesmente substituir
e simplificar) obtém-se exatamente
Isto mostra convergência quadrática: o erro do próximo passo é proporcional ao quadrado do erro atual — ou seja, cai extremamente rápido.
Usando isso para passar de
para
:
- Primeiro calcule o erro
. Com e temos
(negativo porque
.)
- Então
- Logo
com precisão até cerca de
casas decimais (o termo subtraído é muito pequeno).
Portanto, depois de quatro passos já alcançamos praticamente a raiz com erro da ordem de
.