Questão 2. Se cada lata de ervilha custa
3,00$, qual o valor que um cliente deve pagar para comprar todas as latas em uma pilha de latas no formato acima cuja primeira fileira tenha 10 latas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o preço de cada lata é
. - Dado: a pilha é no formato indicado (a primeira fileira, a de baixo, tem
latas). - Pedido: qual o valor que o cliente deve pagar para comprar todas as latas dessa pilha?
Observação sobre a forma da pilha (informação usada a partir do enunciado): a pilha indicada segue o formato em que cada fileira acima tem uma lata a menos do que a fileira imediatamente abaixo; assim, as fileiras têm
latas.
Passo 2
Entender quantas latas há no total: somar as latas de todas as fileiras. Isso é a soma
Essa soma é um caso do conhecido somatório dos primeiros
números naturais (a chamada “soma triangular”). Para uma visão didática, vale ver uma forma fácil de obter a fórmula.
Passo 3
Derivação da fórmula da soma
(método por pareamento, passo a passo):
Considere
Escrevendo a soma ao contrário:
Somando termo a termo as duas expressões (cada coluna somará sempre
):
Logo,
Explicando as variáveis:
é o número de termos (aqui, o número de fileiras) e
é a soma total das latas.
Exemplo curto para fixar: se
, então a soma
, que confere com a contagem direta.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde a primeira fileira tem
latas, portanto
. O total de latas é
Ou seja, há
latas no total.
Passo 5
Agora calculamos o custo total multiplicando o número de latas pelo preço unitário. Cada lata custa
, então:
Fazendo a conta de forma fácil:
e
, logo
. Em formato monetário: