Questão 2. Se cada lata de ervilha custa \mathrm{R} \ 3,00$, qual o valor que um cliente deve pagar para comprar todas as latas em uma pilha de latas no formato acima cuja primeira fileira tenha 10 latas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o preço de cada lata é \text{R\$ }3{,}00.
  • Dado: a pilha é no formato indicado (a primeira fileira, a de baixo, tem 10 latas).
  • Pedido: qual o valor que o cliente deve pagar para comprar todas as latas dessa pilha?
Observação sobre a forma da pilha (informação usada a partir do enunciado): a pilha indicada segue o formato em que cada fileira acima tem uma lata a menos do que a fileira imediatamente abaixo; assim, as fileiras têm 10,9,8,\dots,2,1 latas.

Passo 2

Entender quantas latas há no total: somar as latas de todas as fileiras. Isso é a soma
10+9+8+\cdots+2+1.
Essa soma é um caso do conhecido somatório dos primeiros n números naturais (a chamada “soma triangular”). Para uma visão didática, vale ver uma forma fácil de obter a fórmula.

Passo 3

Derivação da fórmula da soma 1+2+\cdots+n (método por pareamento, passo a passo):
Considere
S = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n.
Escrevendo a soma ao contrário:
S = n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1.
Somando termo a termo as duas expressões (cada coluna somará sempre n+1):
2S = (1+n)+(2+(n-1))+\cdots+(n+1) = n(n+1).
Logo,
S = \frac{n(n+1)}{2}.
Explicando as variáveis: n é o número de termos (aqui, o número de fileiras) e S é a soma total das latas.
Exemplo curto para fixar: se n=4, então a soma 1+2+3+4 = \dfrac{4\cdot5}{2} = 10, que confere com a contagem direta.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde a primeira fileira tem 10 latas, portanto n=10. O total de latas é
\frac{10\cdot(10+1)}{2}=\frac{10\cdot11}{2}=\frac{110}{2}=55.
Ou seja, há 55 latas no total.

Passo 5

Agora calculamos o custo total multiplicando o número de latas pelo preço unitário. Cada lata custa \text{R\$ }3{,}00, então:
\text{Custo total} = 55 \times 3.
Fazendo a conta de forma fácil: 50\times3=150 e 5\times3=15, logo 150+15=165. Em formato monetário:
\text{Custo total} = \text{R\$ }165{,}00.

Resposta

\text{R\$ }165{,}00

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