Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen} n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}}
e instrui a aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{3+\sin n}{n^{2}}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\ldots.
  • Sabe-se que \sin n é uma função oscilante e está limitada: -1\le \sin n\le 1 para todo n.
  • A série alvo tem termos aparentemente parecidos com uma série do tipo 1/n^{2} (uma p-série com p=2).

Passo 2

Aplicando o Teste da Divergência (também chamado teste do termo geral). Lembrete do teste: se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,
então a série \sum a_n diverge. Se \lim_{n\to\infty} a_n = 0, o teste é inconclusivo (não garante convergência nem divergência).
Calculemos o limite do termo geral. Usando a desigualdade -1\le \sin n\le 1 obtemos
2 \le 3+\sin n \le 4.
Dividindo por n^{2}>0,
\frac{2}{n^{2}} \le \frac{3+\sin n}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}.
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n^{2}}=0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{4}{n^{2}}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
\lim_{n\to\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}} = 0.
Portanto o Teste da Divergência é inconclusivo (o limite é 0, logo não podemos concluir divergência).

Passo 3

Escolhendo o próximo teste. Como os termos são não negativos (veremos isso mais explicitamente) e a série lembra uma p-série \sum 1/n^{2} que converge, o teste de Comparação Direta é uma boa escolha. Explico o porquê e o conteúdo do teste:
Comparação Direta (enunciado): se 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Aqui é importante garantir a_n\ge 0.
Verifiquemos as hipóteses: como -1\le \sin n\le 1, tem-se 3+\sin n\ge 3-1=2>0. Assim todo termo a_n=\dfrac{3+\sin n}{n^{2}} é positivo. Então podemos comparar com uma constante vezes 1/n^{2}. Usando 3+\sin n\le 4 obtemos
0 \le \frac{3+\sin n}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}\quad\text{para todo }n.

Passo 4

Aplicando a Comparação Direta: sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge porque p=2>1. Multiplicando por 4 ainda converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}} = 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \quad\text{converge.}
Pelo comparativo 0 \le \dfrac{3+\sin n}{n^{2}} \le \dfrac{4}{n^{2}} e pelo teste de Comparação Direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}}
converge.

Passo 5

Verificação de convergência absoluta (importante em provas): se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (convergência absoluta implica convergência). Aqui
\left|\frac{3+\sin n}{n^{2}}\right| = \frac{|3+\sin n|}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}
pois |3+\sin n|\le 4. Como \sum 4/n^{2} converge, segue que \sum |a_n| converge; portanto a série converge absolutamente. Convergência absoluta é uma informação mais forte e frequentemente desejada em provas.

Passo 6

Comentário curto sobre por que o Teste da Comparação Limite (limit comparison) não é conveniente aqui: calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{(3+\sin n)/n^{2}}{1/n^{2}}=\lim_{n\to\infty} (3+\sin n)
não existe porque \sin n não tem limite quando n\to\infty. Por isso a comparação direta via desigualdade é a ferramenta correta neste caso.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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