Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen} n}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}}
e instrui a aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência. Informações relevantes fornecidas:
O termo geral é a_n=\dfrac{3+\sin n}{n^{2}}.
A soma é sobre n=1,2,3,\ldots.
Sabe-se que \sin n é uma função oscilante e está limitada: -1\le \sin n\le 1 para todo n.
A série alvo tem termos aparentemente parecidos com uma série do tipo 1/n^{2} (uma p-série com p=2).
Passo 2
Aplicando o Teste da Divergência (também chamado teste do termo geral). Lembrete do teste: se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,
então a série \sum a_n diverge. Se \lim_{n\to\infty} a_n = 0, o teste é inconclusivo (não garante convergência nem divergência).
Calculemos o limite do termo geral. Usando a desigualdade -1\le \sin n\le 1 obtemos
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n^{2}}=0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{4}{n^{2}}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
\lim_{n\to\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}} = 0.
Portanto o Teste da Divergência é inconclusivo (o limite é 0, logo não podemos concluir divergência).
Passo 3
Escolhendo o próximo teste. Como os termos são não negativos (veremos isso mais explicitamente) e a série lembra uma p-série \sum 1/n^{2} que converge, o teste de Comparação Direta é uma boa escolha. Explico o porquê e o conteúdo do teste:
Comparação Direta (enunciado): se 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Aqui é importante garantir a_n\ge 0.
Verifiquemos as hipóteses: como -1\le \sin n\le 1, tem-se 3+\sin n\ge 3-1=2>0. Assim todo termo a_n=\dfrac{3+\sin n}{n^{2}} é positivo. Então podemos comparar com uma constante vezes 1/n^{2}. Usando 3+\sin n\le 4 obtemos
0 \le \frac{3+\sin n}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}\quad\text{para todo }n.
Passo 4
Aplicando a Comparação Direta: sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge porque p=2>1. Multiplicando por 4 ainda converge:
Pelo comparativo 0 \le \dfrac{3+\sin n}{n^{2}} \le \dfrac{4}{n^{2}} e pelo teste de Comparação Direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}}
converge.
Passo 5
Verificação de convergência absoluta (importante em provas): se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (convergência absoluta implica convergência). Aqui
pois |3+\sin n|\le 4. Como \sum 4/n^{2} converge, segue que \sum |a_n| converge; portanto a série converge absolutamente. Convergência absoluta é uma informação mais forte e frequentemente desejada em provas.
Passo 6
Comentário curto sobre por que o Teste da Comparação Limite (limit comparison) não é conveniente aqui: calcular