Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{3^{n}}
e instrui a aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência; se esse for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado. Informação dada: o termo geral é \dfrac{n^{2}}{3^{n}} para n=1,2,\dots. O objetivo final é decidir se a série converge ou diverge (e justificar qual teste foi usado e por quê).

Passo 2

Aplicar o Teste da Divergência (também chamado Teste do Termo Geral).
  • Enunciado do teste (em palavras claras): se o limite do termo geral \,a_n quando n\to\infty não for zero, então a série \sum a_n diverge. Se o limite for zero, o teste é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir).
  • Aqui o termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{3^{n}}. Vamos calcular
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3^{n}}.
Para mostrar que esse limite é zero, observe o quociente entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{2}}{3^{n}}} = \left(\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\right)\cdot\frac{1}{3} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\!\cdot\frac{1}{3}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+0\right)^{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}<1.
Quando a razão entre termos consecutivos tende a um número menor que 1, isso implica que a_n\to 0. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3^{n}}=0.
Conclusão do Teste da Divergência: o limite é zero, portanto o Teste da Divergência é inconclusivo (não dá para afirmar convergência nem divergência apenas por esse teste).

Passo 3

Escolher o próximo teste mais adequado.
Raciocínio prático: o termo tem uma potência polinomial no numerador ( n^{2}) e uma potência exponencial no denominador ( 3^{n}). Para séries cujos termos envolvem potências de n e potências geométricas em n, o Teste da Razão (d’Alembert) costuma simplificar muito, porque os fatores 3^{n} se cancelam bem no quociente a_{n+1}/a_n. Por isso escolho o Teste da Razão.

Passo 4

Aplicar o Teste da Razão.
  • Enunciado do Teste da Razão: para termos positivos a_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1 (incluindo +\infty), diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Já calculamos essa razão no Passo 2, mas aqui a usamos como teste da série. Repetindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\!\cdot\frac{1}{3}.
Tomando o limite,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{3}.
Como L=\dfrac{1}{3}<1, pelo Teste da Razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{3^{n}} converge absolutamente. (Aqui os termos são positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência simples.)

Passo 5

Comentário final e ideia extra (útil para a prova).
  • Resumo da decisão dos testes: o Teste da Divergência deu limite do termo igual a zero (inconclusivo). O Teste da Razão deu L=\tfrac{1}{3}<1, portanto a série converge absolutamente.
  • Bônus prático (não pedido, mas interessante): pode-se até calcular a soma exata usando séries de potências. Para |x|<1 vale a identidade
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}.
Tomando x=\dfrac{1}{3},
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{3^{n}} = \frac{\tfrac{1}{3}\bigl(1+\tfrac{1}{3}\bigr)}{\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)^{3}} = \frac{\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{4}{3}}{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{3}} = \frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{8}{27}} = \frac{4}{9}\cdot\frac{27}{8} = \frac{3}{2}.
Portanto a soma da série é \dfrac{3}{2}.

Resposta

Converge absolutamente (Teste da Razão: L=\tfrac{1}{3}<1). Soma =\tfrac{3}{2}.

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