Questão 5. Para cada série, aplique PRIMEIRO o Teste da Divergência. Se inconclusivo, aplique o teste mais adequado. Indique claramente qual teste usou e por quê:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
e instrui a aplicar PRIMEIRO o Teste da Divergência; se esse for inconclusivo, aplicar o teste mais adequado. Informação dada: o termo geral é
para
. O objetivo final é decidir se a série converge ou diverge (e justificar qual teste foi usado e por quê).
Passo 2
Aplicar o Teste da Divergência (também chamado Teste do Termo Geral).
-
Enunciado do teste (em palavras claras): se o limite do termo geral
quando não for zero, então a série diverge. Se o limite for zero, o teste é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir). -
Aqui o termo geral é
. Vamos calcular
Para mostrar que esse limite é zero, observe o quociente entre termos consecutivos:
Tomando limite quando
,
Quando a razão entre termos consecutivos tende a um número menor que
, isso implica que
. Logo
Conclusão do Teste da Divergência: o limite é zero, portanto o Teste da Divergência é inconclusivo (não dá para afirmar convergência nem divergência apenas por esse teste).
Passo 3
Escolher o próximo teste mais adequado.
Raciocínio prático: o termo tem uma potência polinomial no numerador (
) e uma potência exponencial no denominador (
). Para séries cujos termos envolvem potências de
e potências geométricas em
, o Teste da Razão (d’Alembert) costuma simplificar muito, porque os fatores
se cancelam bem no quociente
. Por isso escolho o Teste da Razão.
Passo 4
Aplicar o Teste da Razão.
- Enunciado do Teste da Razão: para termos positivos
, calcule
Se
, a série converge absolutamente; se
(incluindo
), diverge; se
, o teste é inconclusivo.
- Já calculamos essa razão no Passo 2, mas aqui a usamos como teste da série. Repetindo:
Tomando o limite,
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge absolutamente. (Aqui os termos são positivos, então convergência absoluta é o mesmo que convergência simples.)
Passo 5
Comentário final e ideia extra (útil para a prova).
-
Resumo da decisão dos testes: o Teste da Divergência deu limite do termo igual a zero (inconclusivo). O Teste da Razão deu
, portanto a série converge absolutamente. -
Bônus prático (não pedido, mas interessante): pode-se até calcular a soma exata usando séries de potências. Para
vale a identidade
Tomando
,
Portanto a soma da série é
.
Resposta
Converge absolutamente (Teste da Razão:
). Soma
.