Questão 9. Calculando a integral f(y)=integral0^y -s1-s^3 d s como uma série de potência obtemos:
f(y)=sumn=1^infty (-1)^n y^3 n3 n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função
f(y)=integral0^y-s1-s^3,ds
como série de potência em torno de zero.

Passo 2

Para usar série de potência, lembramos da expansão geométrica
11 - x=sumn=0^inftyx^n,válida para |x|<1á
Aqui tomamos x=s^3, então
11 - s^3=sumn=0^inftys^3n

Passo 3

Multiplicamos pelo numerador -s dentro do integrando:
$$
\frac{-s}{1 - s{3}}=-s\sum_{n=0}{\infty}s{3n}=-\sum_{n=0}{\infty}s^{3n+1}.$$

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 até y:
f(y)=integral0^y-sumn=0^inftys^3n+1,ds=-sumn=0^inftyintegral0^ys^3n+1,ds
Como a série converge uniformemente em [0,y], podemos trocar integral e soma.

Passo 5

Cada integral é simples:
integral0^ys^3n+1,ds=y^3n+23n+2
Logo
f(y)=-sumn=0^inftyy^3n+23n+2

Passo 6

Para escrever de modo mais usual, podemos reindexar: ponha m=n+1. Então quando n=0 temos m=1, e 3n+2=3m-1. Fica
f(y)=-summ=1^inftyy^3m-13m-1

Resposta

$$f(y)=-\sum_{n=0}{\infty}\frac{y{3n+2}}{3n+2}=-\sum_{m=1}{\infty}\frac{y{3m-1}}{3m-1}.
$$

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