Questão 9. Calculando a integral
como uma série de potência obtemos:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a função
como série de potência em torno de zero.
Passo 2
Para usar série de potência, lembramos da expansão geométrica
Aqui tomamos
Passo 3
Multiplicamos pelo numerador
dentro do integrando:
$$
\frac{-s}{1 - s{3}}=-s\sum_{n=0}{\infty}s{3n}=-\sum_{n=0}{\infty}s^{3n+1}.$$
Passo 4
Agora integramos termo a termo de 0 até
:
Como a série converge uniformemente em
, podemos trocar integral e soma.
Passo 5
Cada integral é simples:
Logo
Passo 6
Para escrever de modo mais usual, podemos reindexar: ponha
. Então quando
temos
, e
. Fica
Resposta
$$f(y)=-\sum_{n=0}{\infty}\frac{y{3n+2}}{3n+2}=-\sum_{m=1}{\infty}\frac{y{3m-1}}{3m-1}.
$$