Questão 9. Calculando a integral f(y)=integral0^y -s1-s^3 d s como uma série de potência obtemos:
f(y)=sumn=0^infty -(y)^3 n+23 n+2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos calculando a integral f(y)=integral0^y -s1-s^3,ds usando séries de potência. Vamos precisar da expansão em série geométrica de 11-s^3 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usar a série geométrica: para |s|<1 vale a identidade
11-s^3 = sumn=0^infty s^3n

Passo 3

Multiplicar por -s:
-s1-s^3 = -s sumn=0^infty s^3n = -sumn=0^infty s^3n+1

Passo 4

Integrar termo a termo: como a série converge uniformemente em [0,y] para |y|<1, podemos integrar cada termo:
integral0^y -s^3n+1,ds = -[s^3n+23n+2]0^y = -y^3n+23n+2

Passo 5

Somar sobre n: juntando tudo, obtemos
f(y)=sumn=0^infty -y^3n+23n+2

Resposta

f(y)=sumn=0^infty -(y)^3n+23n+2

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