Questão 9. Calculando a integral
como uma série de potência obtemos:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
em forma de série de potências. O conteúdo envolvido é a expansão em série geométrica de
e posterior integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para
vale a expansão geométrica
Essa é a ideia central: escrever a parte complicada do integrando como série.
Passo 3
Multiplicamos por
para obter o integrando:
Passo 4
Agora integramos termo a termo no intervalo de 0 a
. Como a série converge uniformemente em
com
, podemos trocar soma e integral:
Passo 5
Cada termo é uma potência simples. Calculamos
Portanto