Questão 9. Calculando a integral f(y)=integral0^y -s1-s^3 d s como uma série de potência obtemos:
f(y)=sumn=1^infty -y^3 n3 n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral f(y)=integral0^y -s1-s^3,ds em forma de série de potências. O conteúdo envolvido é a expansão em série geométrica de 1/(1-s^3) e posterior integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para |s|<1 vale a expansão geométrica
11 - s^3 = sumn=0^infty s^3n
Essa é a ideia central: escrever a parte complicada do integrando como série.

Passo 3

Multiplicamos por -s para obter o integrando:
-s1 - s^3 = -s sumn=0^infty s^3n = -sumn=0^infty s^3n+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo no intervalo de 0 a y. Como a série converge uniformemente em [0, r] com r<1, podemos trocar soma e integral:
f(y)=integral0^y -sumn=0^infty s^3n+1 ,ds = -sumn=0^infty integral0^y s^3n+1 ,ds

Passo 5

Cada termo é uma potência simples. Calculamos
integral0^y s^3n+1 ,ds = y^3n+23n+2
Portanto
f(y) = -sumn=0^infty y^3n+23n+2

Resposta

f(y) = -sumn=0^infty y^3n+23n+2

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