Questão 4. Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos casos a seguir.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: calcular a derivada de
nos pontos onde ela existir.
Informações e perguntas claras:
Informações e perguntas claras:
- A função é dada por
. - Precisamos achar
e indicar para quais essa derivada existe (domínio de diferenciabilidade).
Passo 2
Primeiro vamos identificar o domínio natural de
(onde a função está definida), porque só aí faz sentido falar em derivada. A parte
exige que o radicando seja não negativo:
A parte
está definida para todo
. Portanto o domínio de
é
A derivada só pode existir em pontos desse domínio; precisamos estudar se existe para
e no ponto extremo
.
Passo 3
Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicação passo a passo e intuitiva):
- Produto: se
, então
Isto é direto: a variação de um produto vem da variação do primeiro mantendo o segundo e vice‑versa.
- Derivada de exponencial com expoente dependente: para uma base positiva constante
e função ,
Motivação rápida: escrever
e aplicar a regra da cadeia.
- Derivada da raiz quadrada: para
,
No caso
, isso simplifica bastante porque
.
Todas as fórmulas acima exigem que as funções internas sejam deriváveis onde as aplicamos (por exemplo, a fórmula da raiz usa
para evitar divisão por zero; vamos tratar do caso limite separadamente).
Passo 4
Vamos identificar
e
para aplicar produto:
Calcular
: usar a regra da exponencial composta.
Expliquei: derive
dando
, e multiplica por
vindo da derivada de
.
Calcular
: usar a regra da potência com
.
Observe que esta expressão está bem definida apenas para
(no ponto
o denominador é zero).
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Essa fórmula foi obtida passo a passo: primeira parcela vem de
e segunda de
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão fatorando termos comuns para deixá‑la mais bonita e útil na prova. Fator comum evidente:
e
. Note que
e
. Ao colocar um denominador comum
obtemos:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Isto é equivalente à expressão anterior, mas deixa explícito o comportamento quando
.
Passo 7
Analisar onde a derivada existe:
- Para qualquer
a expressão de é bem definida (denominador ), portanto é diferenciável em todos os pontos . - No ponto
a expressão tem denominador zero. Para verificar diferenciabilidade em podemos ver o limite (do quociente incremental) ou observar a expressão fatorada: o numerador avaliado em é
Assim, ao aproximar
, o fator
diverge para
(porque o numerador tende a
e o denominador tende a
). Logo a derivada não é finita à direita em
, isto é,
não é diferenciável em
. (Intuitivamente,
tem comportamento como constante vezes
próximo de
, cujo declive se torna infinito na borda.)
Passo 8
Resumo prático (uma fórmula que se pode escrever direto na prova): a derivada existe para
e é dada por
Em
a derivada não existe.
Resposta
A derivada não existe em
.