Questão 4. Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos casos a seguir.
f(x)=2^{3 x+1} \cdot \sqrt{2 x+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2^{3x+1}\cdot\sqrt{2x+4}
e pede: calcular a derivada de f nos pontos onde ela existir.
Informações e perguntas claras:
  • A função é dada por f(x)=2^{3x+1}\cdot\sqrt{2x+4}.
  • Precisamos achar f'(x) e indicar para quais x essa derivada existe (domínio de diferenciabilidade).

Passo 2

Primeiro vamos identificar o domínio natural de f (onde a função está definida), porque só aí faz sentido falar em derivada. A parte \sqrt{2x+4} exige que o radicando seja não negativo:
2x+4\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -2.
A parte 2^{3x+1} está definida para todo x. Portanto o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge -2\}.
A derivada só pode existir em pontos desse domínio; precisamos estudar se existe para x>-2 e no ponto extremo x=-2.

Passo 3

Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicação passo a passo e intuitiva):
  • Produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto é direto: a variação de um produto vem da variação do primeiro mantendo o segundo e vice‑versa.
  • Derivada de exponencial com expoente dependente: para uma base positiva constante a e função g(x),
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x).
Motivação rápida: escrever a^{g(x)}=e^{g(x)\ln a} e aplicar a regra da cadeia.
  • Derivada da raiz quadrada: para h(x)^{1/2},
\frac{d}{dx}\big(h(x)^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}h(x)^{-1/2}\,h'(x).
No caso h(x)=2x+4, isso simplifica bastante porque h'(x)=2.
Todas as fórmulas acima exigem que as funções internas sejam deriváveis onde as aplicamos (por exemplo, a fórmula da raiz usa h(x)>0 para evitar divisão por zero; vamos tratar do caso limite separadamente).

Passo 4

Vamos identificar u(x) e v(x) para aplicar produto:
u(x)=2^{3x+1},\qquad v(x)=\sqrt{2x+4}=(2x+4)^{1/2}.
Calcular u'(x): usar a regra da exponencial composta.
u'(x)=2^{3x+1}\ln 2\cdot(3)=3\ln 2\;2^{3x+1}.
Expliquei: derive 3x+1 dando 3, e multiplica por \ln 2 vindo da derivada de 2^{(\cdot)}.
Calcular v'(x): usar a regra da potência com h(x)=2x+4.
v'(x)=\tfrac{1}{2}(2x+4)^{-1/2}\cdot 2 = (2x+4)^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}.
Observe que esta expressão está bem definida apenas para x>-2 (no ponto x=-2 o denominador é zero).

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\big(3\ln 2\;2^{3x+1}\big)\sqrt{2x+4}+2^{3x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+4}}.
Essa fórmula foi obtida passo a passo: primeira parcela vem de u'(x)v(x) e segunda de u(x)v'(x).

Passo 6

Vamos simplificar a expressão fatorando termos comuns para deixá‑la mais bonita e útil na prova. Fator comum evidente: 2^{3x+1} e \dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}. Note que \sqrt{2x+4}=(2x+4)^{1/2} e (2x+4)^{-1/2}=1/\sqrt{2x+4}. Ao colocar um denominador comum \sqrt{2x+4} obtemos:
f'(x)=2^{3x+1}\left(3\ln 2\;\sqrt{2x+4}+\frac{1}{\sqrt{2x+4}}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador:
f'(x)=2^{3x+1}\cdot\frac{3\ln 2\,(2x+4)+1}{\sqrt{2x+4}}.
Isto é equivalente à expressão anterior, mas deixa explícito o comportamento quando \sqrt{2x+4}\to 0.

Passo 7

Analisar onde a derivada existe:
  • Para qualquer x>-2 a expressão de f'(x) é bem definida (denominador \sqrt{2x+4}>0), portanto f é diferenciável em todos os pontos x>-2.
  • No ponto x=-2 a expressão tem denominador zero. Para verificar diferenciabilidade em x=-2 podemos ver o limite (do quociente incremental) ou observar a expressão fatorada: o numerador avaliado em x=-2 é
3\ln 2\,(2(-2)+4)+1=3\ln 2\cdot 0 +1 =1\neq 0.
Assim, ao aproximar x\to-2^+, o fator \dfrac{3\ln 2\,(2x+4)+1}{\sqrt{2x+4}} diverge para +\infty (porque o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^+). Logo a derivada não é finita à direita em x=-2, isto é, f não é diferenciável em x=-2. (Intuitivamente, f tem comportamento como constante vezes \sqrt{2x+4} próximo de -2, cujo declive se torna infinito na borda.)

Passo 8

Resumo prático (uma fórmula que se pode escrever direto na prova): a derivada existe para x>-2 e é dada por
f'(x)=2^{3x+1}\,\frac{3\ln 2\,(2x+4)+1}{\sqrt{2x+4}},\qquad x>-2.
Em x=-2 a derivada não existe.

Resposta

f'(x)=2^{3x+1}\,\frac{3\ln 2\,(2x+4)+1}{\sqrt{2x+4}},\quad x>-2
A derivada não existe em x=-2.

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