Questão 2. Escolha APENAS UMA das funções a seguir para encontrar (justificando com os limites necessários) suas assíntotas verticais e horizontais. Circule abaixo qual a função escolhida.
O enunciado pede que eu escolha APENAS UMA das duas funções e determine, justificando com os limites necessários, as suas assíntotas verticais e horizontais. Eu escolhi a função
Vou justificar cada conclusão calculando os limites apropriados.
Também uso dois fatos padrão que vou justificar brevemente quando aparecerem:
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
|\sin x|\le 1 para todo x (para aplicar o teorema do confronto/squeeze).
Passo 3
Análise dos pontos onde o denominador é zero:
x=0: numerador \sin(0)=0, denominador 0\cdot(0-\tfrac{\pi}{2})=0. Temos forma 0/0 — limite pode ser finito (removível) ou infinito, preciso calcular.
x=\tfrac{\pi}{2}: numerador \sin(\tfrac{\pi}{2})=1\neq 0, denominador \tfrac{\pi}{2}\cdot 0=0. Como numerador não se anula enquanto denominador tende a zero, é candidato a assíntota vertical; para confirmar preciso analisar os limites laterais.
Passo 4
Cálculo do limite em x\to 0:
Escrevo a função de forma útil:
(Explicação curta desse fato: para x próximo de 0 e x\neq0 vale \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1; como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo teorema do confronto obtemos \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.)
Então,
Conclusão desse passo: o limite existe e é finito (-\tfrac{2}{\pi}), portanto NÃO há assíntota vertical em x=0. A descontinuidade em x=0 é removível (poder-se-ia definir g(0)=-\tfrac{2}{\pi} para tornar a função contínua ali).
Passo 5
Cálculo dos limites laterais em x\to \tfrac{\pi}{2} para verificar assíntota vertical:
Observação: \sin x é contínua e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Perto de x=\tfrac{\pi}{2} o numerador fica próximo de 1, enquanto o fator perigoso é (x-\tfrac{\pi}{2}) no denominador.
Como x\to\tfrac{\pi}{2} temos \dfrac{\sin x}{x}\to \dfrac{\sin(\tfrac{\pi}{2})}{\tfrac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{\tfrac{\pi}{2}}=\dfrac{2}{\pi} (produto de limites com função contínua). Assim, o comportamento principal vem do fator \dfrac{1}{x-\tfrac{\pi}{2}}.
Agora os limites laterais:
Para x\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^- (pela esquerda) tem-se x-\tfrac{\pi}{2}<0 pequeno, e \dfrac{\sin x}{x} é aproximadamente \dfrac{2}{\pi}>0. Logo
Como pelo menos um (na verdade ambos os) limite lateral(s) divergem para infinito (com sinais opostos), concluímos que existe uma assíntota vertical em
x=\frac{\pi}{2}.
Passo 6
Análise das assíntotas horizontais (comportamento quando |x|\to\infty):
Quero calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) e \displaystyle\lim_{x\to-\infty} g(x).