Questão 2. Escolha APENAS UMA das funções a seguir para encontrar (justificando com os limites necessários) suas assíntotas verticais e horizontais. Circule abaixo qual a função escolhida.
\begin{gathered} f(x)=\frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-5 x+4} \\\ g(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x\left(x-\frac{\pi}{2}\right)} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha APENAS UMA das duas funções e determine, justificando com os limites necessários, as suas assíntotas verticais e horizontais. Eu escolhi a função
g(x)=\frac{\sin(x)}{x\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}.
Informações úteis dadas / observações iniciais:
  • A função está escrita como \dfrac{\sin(x)}{x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)}.
  • Os pontos em que o denominador se anula são x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}; neles a função pode ter descontinuidade e possivelmente assíntotas verticais.
  • Para assíntota horizontal vou investigar os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty.

Passo 2

Relembrando (definições e o que vou usar; mini-aula):
  • Assíntota vertical em x=a: ocorre quando pelo menos um dos limites laterais
\lim_{x\to a^-} g(x)\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to a^+} g(x)
é +\infty ou -\infty. Em outras palavras, a função “explode” para infinito ao se aproximar de a.
  • Assíntota horizontal y=L: ocorre quando
\lim_{x\to+\infty} g(x)=L\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to-\infty} g(x)=L.
Vou justificar cada conclusão calculando os limites apropriados.
Também uso dois fatos padrão que vou justificar brevemente quando aparecerem:
  1. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
  2. |\sin x|\le 1 para todo x (para aplicar o teorema do confronto/squeeze).

Passo 3

Análise dos pontos onde o denominador é zero:
  • x=0: numerador \sin(0)=0, denominador 0\cdot(0-\tfrac{\pi}{2})=0. Temos forma 0/0 — limite pode ser finito (removível) ou infinito, preciso calcular.
  • x=\tfrac{\pi}{2}: numerador \sin(\tfrac{\pi}{2})=1\neq 0, denominador \tfrac{\pi}{2}\cdot 0=0. Como numerador não se anula enquanto denominador tende a zero, é candidato a assíntota vertical; para confirmar preciso analisar os limites laterais.

Passo 4

Cálculo do limite em x\to 0:
Escrevo a função de forma útil:
g(x)=\frac{\sin x}{x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{x-\tfrac{\pi}{2}}.
Agora uso o fato conhecido
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
(Explicação curta desse fato: para x próximo de 0 e x\neq0 vale \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1; como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo teorema do confronto obtemos \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.)
Então,
\lim_{x\to 0} g(x)=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x-\tfrac{\pi}{2}}\right) =1\cdot\frac{1}{0-\tfrac{\pi}{2}}=\frac{1}{-\tfrac{\pi}{2}}=-\frac{2}{\pi}.
Conclusão desse passo: o limite existe e é finito ( -\tfrac{2}{\pi}), portanto NÃO há assíntota vertical em x=0. A descontinuidade em x=0 é removível (poder-se-ia definir g(0)=-\tfrac{2}{\pi} para tornar a função contínua ali).

Passo 5

Cálculo dos limites laterais em x\to \tfrac{\pi}{2} para verificar assíntota vertical:
Observação: \sin x é contínua e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Perto de x=\tfrac{\pi}{2} o numerador fica próximo de 1, enquanto o fator perigoso é (x-\tfrac{\pi}{2}) no denominador.
Escrevo, para x próximo de \tfrac{\pi}{2},
g(x)=\frac{\sin x}{x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{x-\tfrac{\pi}{2}}.
Como x\to\tfrac{\pi}{2} temos \dfrac{\sin x}{x}\to \dfrac{\sin(\tfrac{\pi}{2})}{\tfrac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{\tfrac{\pi}{2}}=\dfrac{2}{\pi} (produto de limites com função contínua). Assim, o comportamento principal vem do fator \dfrac{1}{x-\tfrac{\pi}{2}}.
Agora os limites laterais:
  • Para x\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^- (pela esquerda) tem-se x-\tfrac{\pi}{2}<0 pequeno, e \dfrac{\sin x}{x} é aproximadamente \dfrac{2}{\pi}>0. Logo
\lim_{x\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^-} g(x) = \frac{2}{\pi}\cdot(-\infty) = -\infty.
  • Para x\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^+ (pela direita) tem-se x-\tfrac{\pi}{2}>0 pequeno, então
\lim_{x\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^+} g(x) = \frac{2}{\pi}\cdot(+\infty) = +\infty.
Como pelo menos um (na verdade ambos os) limite lateral(s) divergem para infinito (com sinais opostos), concluímos que existe uma assíntota vertical em
x=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Análise das assíntotas horizontais (comportamento quando |x|\to\infty):
Quero calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) e \displaystyle\lim_{x\to-\infty} g(x).
Uso que |\sin x|\le 1. Assim
\left|g(x)\right|=\left|\frac{\sin x}{x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)}\right|\le \frac{1}{\left|x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\right|}.
Para |x| grande (por exemplo |x|\ge \pi) vale |x-\tfrac{\pi}{2}|\ge |x|-\tfrac{\pi}{2}\ge \tfrac{|x|}{2}. Então, para |x|\ge \pi,
\left|g(x)\right|\le \frac{1}{|x|\cdot|x-\tfrac{\pi}{2}|}\le \frac{1}{|x|\cdot\frac{|x|}{2}}=\frac{2}{|x|^{2}}.
Como \displaystyle\lim_{|x|\to\infty}\frac{2}{|x|^{2}}=0, pelo teorema do confronto temos
\lim_{x\to+\infty} g(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty} g(x)=0.
Portanto existe assíntota horizontal comum para as duas direções:
y=0.

Passo 7

Resumo das conclusões e observações finais (para ficar bem claro como aplicar isso na prova):
  • Em x=0 a função apresenta forma 0/0 mas o limite é finito ( -\tfrac{2}{\pi}), logo não é assíntota vertical; a descontinuidade é removível.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2} a função diverge (limites laterais são -\infty e +\infty), logo há assíntota vertical em x=\tfrac{\pi}{2}.
  • Para |x|\to\infty a função tende a 0, logo há assíntota horizontal y=0.

Resposta

Assíntotas verticais: x=\dfrac{\pi}{2}. (Não há assíntota vertical em x=0; essa descontinuidade é removível.)
Assíntotas horizontais: y=0.

Exercícios relacionados