Questão 3. Calcule a derivada geral das funções abaixo:
(a) f(x)=x^{3}-5 x^{2}+2 x-7

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada geral (ou seja, f'(x)) para o item (a).
Informações fornecidas:
f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x-7.
Pergunta: calcular a derivada de f em termos de x (a expressão de f'(x)).

Passo 2

O que vamos usar — regras essenciais (explicadas de forma simples):
  1. Definição intuitiva de derivada: a derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função; para uma função simples, usamos regras que tornam o cálculo direto sem fazer o limite toda vez.
  2. Regra da soma e do múltiplo constante (linearidade): a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e uma constante multiplicando uma função sai como fator:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big)=a\cdot g'(x),
onde a é constante e g é diferenciável. Isso significa que podemos derivar termo a termo.
3) Regra do poder (power rule): para um monômio do tipo x^{n} com n inteiro não negativo, temos
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Exemplos rápidos: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}x=1.
4) Derivada de constante: se c é constante, então
\frac{d}{dx}c=0.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo (usando linearidade e regra do poder):
Derivada do primeiro termo \,x^{3}: usando \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} com n=3,
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 4

Derivada do segundo termo -5x^{2}: fator constante -5 sai e derivamos x^{2}:
\frac{d}{dx}(-5x^{2})=-5\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-5\cdot(2x)=-10x.

Passo 5

Derivada do terceiro termo 2x: aqui é um caso de x^{1}. Pela regra do poder,
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot\frac{d}{dx}x=2\cdot 1=2.

Passo 6

Derivada do quarto termo constante -7: por ser constante,
\frac{d}{dx}(-7)=0.

Passo 7

Agora somamos as derivadas parciais obtidas em cada termo (pela linearidade). As derivadas encontradas foram: 3x^{2}, -10x, 2 e 0. Somando esses termos obtemos a expressão final de f'(x), que está abaixo.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-10x+2

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