Questão 3. Calcule a derivada geral das funções abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada geral (ou seja,
) para o item (a).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Pergunta: calcular a derivada de
em termos de
(a expressão de
).
Passo 2
O que vamos usar — regras essenciais (explicadas de forma simples):
- Definição intuitiva de derivada: a derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função; para uma função simples, usamos regras que tornam o cálculo direto sem fazer o limite toda vez.
- Regra da soma e do múltiplo constante (linearidade): a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e uma constante multiplicando uma função sai como fator:
onde
é constante e
é diferenciável. Isso significa que podemos derivar termo a termo.
3) Regra do poder (power rule): para um monômio do tipo com
inteiro não negativo, temos
3) Regra do poder (power rule): para um monômio do tipo
Aqui
é o expoente e
é a variável. Exemplos rápidos:
,
,
.
4) Derivada de constante: se é constante, então
4) Derivada de constante: se
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo (usando linearidade e regra do poder):
Derivada do primeiro termo : usando
com
,
Derivada do primeiro termo
Passo 4
Derivada do segundo termo
: fator constante
sai e derivamos
:
Passo 5
Derivada do terceiro termo
: aqui é um caso de
. Pela regra do poder,
Passo 6
Derivada do quarto termo constante
: por ser constante,
Passo 7
Agora somamos as derivadas parciais obtidas em cada termo (pela linearidade). As derivadas encontradas foram:
,
,
e
. Somando esses termos obtemos a expressão final de
, que está abaixo.