Questão 3. Calcule a derivada geral das funções abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule a derivada geral da função
".
Informações dadas: a função é definida para todo
. O objetivo é encontrar
(a derivada para um
genérico).
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “derivada geral” de uma função: é a derivada em um ponto
arbitrário, isto é, a fórmula de
válida para todo
. A definição fundamental que usamos é a definição pela diferença quociente:
Aqui
é uma variação pequena em
. Se esse limite existir para todo
, teremos a expressão da derivada geral.
Passo 3
Aplique a definição à função
. Escrevendo o quociente de diferenças:
Usamos a propriedade dos expoentes
. Substituindo:
Portanto, pela definição de derivada,
Observa que conseguimos separar
do limite porque não depende de
.
Passo 4
Agora precisamos avaliar o limite
Uma forma direta e intuitiva de ver que
é usar a série de Taylor (série de potências) da função exponencial em torno de
. A série de
é
válida para todo
. Substituindo
e dividindo por
obtemos
Quando
todos os termos que possuem
vão a zero, então
(Se preferir pensar de outro jeito: a constante
pode ser definido como a base cujo exponencial tem derivada
em
; isso dá a mesma conclusão. Aqui usei a série porque mostra explicitamente como os termos desaparecem.)
Passo 5
Voltando ao passo anterior, como
, substituímos em
e obtemos
Ou seja, a derivada de
é a própria função
. Intuitivamente, isso significa que a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto tem exatamente o mesmo valor do próprio
naquele ponto — um fato bem legal e útil nas provas!