Questão 3. Calcule a derivada geral das funções abaixo:
(c) f(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule a derivada geral da função f(x)=e^{x}".
Informações dadas: a função é f(x)=e^{x} definida para todo x\in\mathbb{R}. O objetivo é encontrar f'(x) (a derivada para um x genérico).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “derivada geral” de uma função: é a derivada em um ponto x arbitrário, isto é, a fórmula de f'(x) válida para todo x. A definição fundamental que usamos é a definição pela diferença quociente:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é uma variação pequena em x. Se esse limite existir para todo x, teremos a expressão da derivada geral.

Passo 3

Aplique a definição à função f(x)=e^{x}. Escrevendo o quociente de diferenças:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}.
Usamos a propriedade dos expoentes e^{x+h}=e^{x}\,e^{h}. Substituindo:
\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}=e^{x}\cdot\frac{e^{h}-1}{h}.
Portanto, pela definição de derivada,
f'(x)=\lim_{h\to 0} e^{x}\cdot\frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Observa que conseguimos separar e^{x} do limite porque não depende de h.

Passo 4

Agora precisamos avaliar o limite
L:=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Uma forma direta e intuitiva de ver que L=1 é usar a série de Taylor (série de potências) da função exponencial em torno de 0. A série de e^{t} é
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
válida para todo t. Substituindo t=h e dividindo por h obtemos
\frac{e^{h}-1}{h}=\frac{1+h+\frac{h^{2}}{2!}+\frac{h^{3}}{3!}+\cdots-1}{h}=1+\frac{h}{2!}+\frac{h^{2}}{3!}+\cdots.
Quando h\to 0 todos os termos que possuem h vão a zero, então
\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
(Se preferir pensar de outro jeito: a constante e pode ser definido como a base cujo exponencial tem derivada 1 em 0; isso dá a mesma conclusão. Aqui usei a série porque mostra explicitamente como os termos desaparecem.)

Passo 5

Voltando ao passo anterior, como \lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1, substituímos em
f'(x)=e^{x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}
e obtemos
f'(x)=e^{x}\cdot 1=e^{x}.
Ou seja, a derivada de e^{x} é a própria função e^{x}. Intuitivamente, isso significa que a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto tem exatamente o mesmo valor do próprio e^{x} naquele ponto — um fato bem legal e útil nas provas!

Resposta

f'(x)=e^{x}

Exercícios relacionados