QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo usando o método das funções inversas. O problema pede para calcular a derivada da função
para
. Para isso, vamos precisar encontrar a função inversa e usar a relação entre as derivadas de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma mais fácil de manipular. Sabemos que
é o mesmo que
.
Passo 3
Para encontrar a função inversa, precisamos trocar
por
e resolver para
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Para isso, elevamos ambos os lados ao expoente
:
Então, a função inversa é
.
Passo 5
Sabemos que a derivada da função inversa
é:
Passo 6
A relação entre as derivadas de funções inversas é dada por:
Passo 7
Substituindo a derivada da função inversa na equação acima:
Resposta
A derivada da função
é: