QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa) y = raiz cúbica(x^2), x ≥ 0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo usando o método das funções inversas. O problema pede para calcular a derivada da função para . Para isso, vamos precisar encontrar a função inversa e usar a relação entre as derivadas de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais fácil de manipular. Sabemos que é o mesmo que .

Passo 3

Para encontrar a função inversa, precisamos trocar por e resolver para . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para . Para isso, elevamos ambos os lados ao expoente :
Então, a função inversa é .

Passo 5

Sabemos que a derivada da função inversa é:

Passo 6

A relação entre as derivadas de funções inversas é dada por:

Passo 7

Substituindo a derivada da função inversa na equação acima:

Resposta

A derivada da função é:

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