Questão: Calcule a derivada de
v(x)=x^{2} \operatorname{sen} x-\log x \cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
v(x)=x^{2}\operatorname{sen} x-\log x \cos x.
Informações dadas:
  • A função é a diferença de dois termos: x^{2}\operatorname{sen} x e \log x \cos x.
  • A notação \operatorname{sen} x equivale a \sin x em TeX; portanto usarei \sin x.
  • A notação \log x será tratada como o logaritmo natural (isto é, \ln x).
    O que se pede:
  • Calcular v'(x), a derivada de v em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicações simples):
  • Derivada da soma/diferença: a derivada de \,f(x)\pm g(x)\, é \,f'(x)\pm g'(x)\,.
  • Derivada de uma constante vezes função: a derivada de \,a\cdot f(x)\, é a\cdot f'(x), onde a é constante.
  • Regra do produto: se u(x) e w(x) são funções, então
\bigl(u(x)\,w(x)\bigr)'=u'(x)\,w(x)+u(x)\,w'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e w'(x) a derivada de w. Vou aplicar isso aos produtos que aparecem.
  • Derivadas básicas de funções comuns:
    • \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
    • \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\sin x.
    • \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\log x\bigr)=\frac{1}{x} (para x>0).
  • Derivada de x^{2}: \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Vou aplicar essas regras passo a passo aos dois termos de v(x).

Passo 3

Derivada do primeiro termo \,x^{2}\sin x.
  • Identifico u(x)=x^{2} e w(x)=\sin x.
  • Derivadas: u'(x)=2x e w'(x)=\cos x.
  • Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\sin x\bigr)=u'(x)w(x)+u(x)w'(x)=2x\sin x + x^{2}\cos x.

Passo 4

Derivada do segundo termo \,\log x \cos x.
  • Identifico p(x)=\log x e q(x)=\cos x.
  • Derivadas: p'(x)=\dfrac{1}{x} e q'(x)=-\sin x.
  • Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\log x \cos x\bigr)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)=\frac{1}{x}\cos x + \log x \,(-\sin x).
  • Simplificando o sinal:
\frac{d}{dx}\bigl(\log x \cos x\bigr)=\frac{\cos x}{x}-\log x\sin x.

Passo 5

Agora aplico a regra da derivada da diferença: v'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\sin x\bigr)-\dfrac{d}{dx}\bigl(\log x \cos x\bigr).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
v'(x)=\bigl(2x\sin x + x^{2}\cos x\bigr)-\bigl(\frac{\cos x}{x}-\log x\sin x\bigr).
Distribuo o sinal de menos no segundo parêntese:
v'(x)=2x\sin x + x^{2}\cos x - \frac{\cos x}{x} + \log x\sin x.

Passo 6

Organizo e simplifico agrupando termos semelhantes (os que envolvem \sin x e os que envolvem \cos x):
  • Termos com \sin x: 2x\sin x + \log x\sin x = \bigl(2x+\log x\bigr)\sin x.
  • Termos com \cos x: x^{2}\cos x - \dfrac{\cos x}{x} = \left(x^{2}-\dfrac{1}{x}\right)\cos x.
    Portanto uma forma limpa e prática para a prova é
v'(x)=\bigl(2x+\log x\bigr)\sin x + \left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)\cos x.

Resposta

v'(x)=\bigl(2x+\log x\bigr)\sin x + \left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)\cos x

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