Questão: Calcule a derivada de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a diferença de dois termos:
e . - A notação
equivale a em TeX; portanto usarei . - A notação
será tratada como o logaritmo natural (isto é, ).
O que se pede: - Calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicações simples):
- Derivada da soma/diferença: a derivada de
é . - Derivada de uma constante vezes função: a derivada de
é , onde é constante. - Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
. Vou aplicar isso aos produtos que aparecem.
- Derivadas básicas de funções comuns:
-
-
-
(para ).
-
- Derivada de
:
Vou aplicar essas regras passo a passo aos dois termos de
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
- Identifico
e . - Derivadas:
e . - Pela regra do produto:
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
- Identifico
e . - Derivadas:
e . - Pela regra do produto:
- Simplificando o sinal:
Passo 5
Agora aplico a regra da derivada da diferença:
.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Distribuo o sinal de menos no segundo parêntese:
Passo 6
Organizo e simplifico agrupando termos semelhantes (os que envolvem
e os que envolvem
):
- Termos com
: - Termos com
:
Portanto uma forma limpa e prática para a prova é