Questão: Calcule a derivada de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é composta por três termos somados:
, e . - Vou interpretar
como logaritmo natural, isto é . - A derivada que pedimos só faz sentido onde a função está definida. Como
exige e exige , o domínio da função é . A derivada será buscada nesse intervalo.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que usarei (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . Isso permite derivar cada termo separadamente. - Derivada do exponencial: para
vale
Isto é uma propriedade básica: a função exponencial tem derivada igual a ela mesma.
- Derivada do logaritmo natural: para
(com ) vale
Uma forma rápida de ver isso é usar que
implica
; diferenciando ambos os lados em relação a
:
, portanto
.
- Regra da potência (para potências com expoente real simples): se
então . Em particular, para (caso de ) temos
(Usarei isso para derivar
.)
Passo 3
Aplicando a linearidade e derivando termo a termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
. Primeiro reescrevo como . Usando a regra da potência:
Passo 4
Agora somo os resultados obtidos (pela linearidade):
Posso apresentar essa expressão de forma levemente mais compacta somando os dois termos racionais:
então uma forma alternativa é
Lembrete final sobre domínio: a derivada vale para
, que é o domínio da função original.