Questão: Calcule a derivada de
g(x)=\log x+e^{x}-\frac{1}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a derivada da função
g(x)=\log x+e^{x}-\frac{1}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é composta por três termos somados: \log x, e^{x} e -\dfrac{1}{x}.
  • Vou interpretar \log x como logaritmo natural, isto é \log x=\ln x.
  • A derivada que pedimos só faz sentido onde a função está definida. Como \log x exige x>0 e \dfrac{1}{x} exige x\neq0, o domínio da função é x>0. A derivada será buscada nesse intervalo.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que usarei (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se h(x)=u(x)+v(x) então h'(x)=u'(x)+v'(x). Isso permite derivar cada termo separadamente.
  • Derivada do exponencial: para f(x)=e^{x} vale
f'(x)=e^{x}.
Isto é uma propriedade básica: a função exponencial tem derivada igual a ela mesma.
  • Derivada do logaritmo natural: para f(x)=\ln x (com x>0) vale
f'(x)=\frac{1}{x}.
Uma forma rápida de ver isso é usar que y=\ln x implica e^{y}=x; diferenciando ambos os lados em relação a x: e^{y}\,y'=1, portanto y'=\dfrac{1}{e^{y}}=\dfrac{1}{x}.
  • Regra da potência (para potências com expoente real simples): se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Em particular, para n=-1 (caso de x^{-1}=\dfrac{1}{x}) temos
\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
(Usarei isso para derivar -\dfrac{1}{x}.)

Passo 3

Aplicando a linearidade e derivando termo a termo:
  • Derivada de \log x:
\frac{d}{dx}\big(\log x\big)=\frac{1}{x}.
  • Derivada de e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
  • Derivada de -\dfrac{1}{x}. Primeiro reescrevo como -x^{-1}. Usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(-x^{-1}\big)=-\big(-1\big)x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Agora somo os resultados obtidos (pela linearidade):
g'(x)=\frac{1}{x}+e^{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Posso apresentar essa expressão de forma levemente mais compacta somando os dois termos racionais:
\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}},
então uma forma alternativa é
g'(x)=e^{x}+\frac{x+1}{x^{2}}.
Lembrete final sobre domínio: a derivada vale para x>0, que é o domínio da função original.

Resposta

g'(x)=\dfrac{1}{x}+e^{x}+\dfrac{1}{x^{2}}

Exercícios relacionados