Questão 4) Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x+\frac{x}{|x|}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite unidirecional quando x se aproxima de zero pela direita da expressão
x+\frac{x}{|x|}.
Informações dadas:
  • A variável de interesse é x.
  • O limite é do tipo \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}, ou seja, aproximando-se de 0 por valores positivos de x.
  • A expressão envolve o valor absoluto |x|, que depende do sinal de x.

Passo 2

Entender o comportamento de |x|\) é essencial. A definição de valor absoluto é \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Como estamos tomando x \to 0^{+}\], estamos considerando apenas \(x>0 (valores positivos próximos de zero). Para x>0 vale |x|=x. Logo, para x>0 o quociente \dfrac{x}{|x|} fica
\frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1.
Isto é um passo importante: ao aproximar por direita, a parte \dfrac{x}{|x|} é simplesmente a constante 1.]

Passo 3

Substituindo a simplificação válida para x>0 na expressão original, obtemos, para x>0,
x+\frac{x}{|x|}=x+1.
Agora aplicamos a propriedade de limites que diz que o limite de uma soma é a soma dos limites, quando ambos existem:
\lim_{x\to 0^{+}}\bigl(x+1\bigr)=\lim_{x\to 0^{+}}x+\lim_{x\to 0^{+}}1=0+1.
Aqui usei que \lim_{x\to 0^{+}}x=0 (a função identidade tende a zero) e que \lim_{x\to 0^{+}}1=1 (constante).

Passo 4

Observação adicional (para contexto e evitar confusão na prova): se alguém pedisse o limite bilateral \lim_{x\to 0}, seria necessário conferir a aproximação pela esquerda. Para x<0 teríamos |x|=-x e então \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{x}{-x}=-1, de modo que a expressão seria x-1 e o limite pela esquerda seria -1. Como o limite pela direita é diferente do limite pela esquerda, o limite bilateral não existiria. Mas como o enunciado pede \lim_{x\to 0^{+}}, só importa a aproximação pela direita, que já foi tratada.

Resposta

1

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