Questão 8. Calcule o fator de empacotamento para os sólidos de empacotamento hexagonal, cúbico de face centrada e cúbico de corpo centrado.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o fator de empacotamento (ou eficiência de empacotamento) para três estruturas cristalinas: hexagonal compacta (HCP), cúbica de face centrada (FCC) e cúbica de corpo centrado (BCC).
Informações relevantes que usarei (todas presumem esferas idênticas de raio
):
- O fator de empacotamento
é a fração do volume do retículo unitário ocupada pelas esferas:
- Volume de uma esfera de raio
: . - Para cada estrutura precisarei:
- contar o número de átomos efetivos por célula unitária (
); - relacionar o parâmetro de rede (a, ou
e no caso hexagonal) com o raio ; - calcular o volume da célula unitária
; - aplicar
.
- contar o número de átomos efetivos por célula unitária (
Passo 2
Explicação do método geral (aula rápida e prática):
- Por que contamos “átomos por célula”? Porque em uma célula unitária alguns átomos estão “partilhados” com células vizinhas; por isso se calcula o número efetivo
somando as frações. - Por que relacionar
com ? Porque o volume da célula é escrito em termos do parâmetro de rede ( e, no HCP, também ), e queremos que a resposta fique em função de para que o do numerador cancele com o do denominador. - Fórmula que vou usar sempre:
Vou aplicar isso separadamente para FCC, BCC e HCP.
Passo 3
Descrição e contagem:
- Na estrutura cúbica de face centrada (FCC) há:
- 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células
contribuição . - 6 átomos nas faces, cada um compartilhado por 2 células
contribuição .
- 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células
- Então o número efetivo de átomos por célula é
.
Passo 4
Geometria e contas (explicando cada passo):
- Em FCC, as esferas se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento
e corresponde a (dois raios de uma esfera no vértice da face + dois raios do átomo da face):
- Volume da célula:
- Volume total ocupado pelos átomos:
- Fator de empacotamento:
- Valor numérico (aproximação):
Passo 5
Descrição e contagem:
- Na estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) há:
- 8 átomos nos vértices, cada um com contribuição
. - 1 átomo no centro da célula
contribuição .
- 8 átomos nos vértices, cada um com contribuição
- Então o número efetivo de átomos por célula é
.
Passo 6
Geometria e contas:
- Em BCC, as esferas se tocam ao longo da diagonal do corpo; a diagonal do cubo tem comprimento
e corresponde a :
- Volume da célula:
(Desenvolvimento:
e
, portanto
.)
- Volume total ocupado pelos átomos:
- Fator de empacotamento:
- Valor numérico (aproximação):
Passo 7
Descrição e contagem:
- HCP = empacotamento hexagonal compacto. A célula convencional hexagonal (prismática) usada para HCP contém efetivamente
átomos por célula. - Precisamos do parâmetro de rede basal
e da altura . Na compactação ideal, as esferas tocam no plano basal, logo:
Passo 8
Explicando geometricamente o
da HCP (passo a passo, sem pular):
- Considere três esferas no plano basal formando um triângulo equilátero de lado
. O centróide desse triângulo está à distância de cada um dos centros. - A esfera da camada acima (posicionada sobre esse buraco) toca cada uma das três esferas do triângulo. A distância entre os centros da esfera superior e de qualquer esfera basal é
. Chamando a separação vertical entre as camadas (distância entre planos de centros), temos, por Teorema de Pitágoras:
- Substituindo
:
- A célula hexagonal convencional tem altura
igual a duas vezes essa separação (A → B → A), logo:
- Em termos de
:
Passo 9
Cálculo do volume da célula e do fator:
- Área da base (hexágono regular de lado
) é
- Volume da célula:
- Substituindo
e :
- Simplificando passo a passo:
- Note que
. Então
- Volume total de átomos na célula (com
):
- Fator de empacotamento:
- Valor numérico:
Passo 10
Resumo interpretativo, estilo amigo que anima:
- HCP e FCC têm exatamente o mesmo fator de empacotamento porque ambos são empacotamentos compactos mais densos possíveis de esferas idênticas, arranjados de forma diferente mas com a mesma densidade local.
- BCC é menos eficiente que FCC/HCP, porque a geometria BCC deixa mais espaço vazio entre esferas.
Resposta
HCP:
(74{,}05%)
FCC: (74{,}05%)
BCC: (68{,}02%)
FCC:
BCC: