Questão 8. Calcule o fator de empacotamento para os sólidos de empacotamento hexagonal, cúbico de face centrada e cúbico de corpo centrado.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o fator de empacotamento (ou eficiência de empacotamento) para três estruturas cristalinas: hexagonal compacta (HCP), cúbica de face centrada (FCC) e cúbica de corpo centrado (BCC).
Informações relevantes que usarei (todas presumem esferas idênticas de raio \,r):
  • O fator de empacotamento \eta é a fração do volume do retículo unitário ocupada pelas esferas:
\eta=\frac{\text{número de átomos por célula}\times\text{volume de uma esfera}}{\text{volume da célula unitária}}.úáééá
  • Volume de uma esfera de raio \,r: \displaystyle V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Para cada estrutura precisarei:
    • contar o número de átomos efetivos por célula unitária ( N);
    • relacionar o parâmetro de rede (a, ou a e c no caso hexagonal) com o raio r;
    • calcular o volume da célula unitária V_{\text{cel}};
    • aplicar \eta=\dfrac{N\cdot\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{V_{\text{cel}}}.

Passo 2

Explicação do método geral (aula rápida e prática):
  • Por que contamos “átomos por célula”? Porque em uma célula unitária alguns átomos estão “partilhados” com células vizinhas; por isso se calcula o número efetivo N somando as frações.
  • Por que relacionar a com r? Porque o volume da célula V_{\text{cel}} é escrito em termos do parâmetro de rede ( a e, no HCP, também c), e queremos que a resposta fique em função de r para que o r^3 do numerador cancele com o do denominador.
  • Fórmula que vou usar sempre:
\eta=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{V_{\text{cel}}}.
Vou aplicar isso separadamente para FCC, BCC e HCP.

Passo 3

Descrição e contagem:
  • Na estrutura cúbica de face centrada (FCC) há:
    • 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células \Rightarrow contribuição 8\times\frac{1}{8}=1.
    • 6 átomos nas faces, cada um compartilhado por 2 células \Rightarrow contribuição 6\times\frac{1}{2}=3.
  • Então o número efetivo de átomos por célula é \,N=4.

Passo 4

Geometria e contas (explicando cada passo):
  • Em FCC, as esferas se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento \,a\sqrt{2} e corresponde a 4r (dois raios de uma esfera no vértice da face + dois raios do átomo da face):
a\sqrt{2}=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
  • Volume da célula:
V_{\text{cel}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.
  • Volume total ocupado pelos átomos:
N\cdot V_{\text{esfera}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}.
  • Fator de empacotamento:
\eta_{\text{FCC}}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  • Valor numérico (aproximação):
\eta_{\text{FCC}}\approx 0,74048\quad\text{(ou }74{,}05\%\text{)}.

Passo 5

Descrição e contagem:
  • Na estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) há:
    • 8 átomos nos vértices, cada um com contribuição 1/8 \Rightarrow 8\times\frac{1}{8}=1.
    • 1 átomo no centro da célula \Rightarrow contribuição 1.
  • Então o número efetivo de átomos por célula é \,N=2.

Passo 6

Geometria e contas:
  • Em BCC, as esferas se tocam ao longo da diagonal do corpo; a diagonal do cubo tem comprimento a\sqrt{3} e corresponde a 4r:
a\sqrt{3}=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Volume da célula:
V_{\text{cel}}=a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64}{3\sqrt{3}}\,r^{3}.
(Desenvolvimento: (4r)^3=64 r^3 e (\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}, portanto a^3=64r^3/(3\sqrt{3}).)
  • Volume total ocupado pelos átomos:
N\cdot V_{\text{esfera}}=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{8}{3}\pi r^{3}.
  • Fator de empacotamento:
\eta_{\text{BCC}}=\frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}}\,r^{3}}=\frac{8\pi}{64}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\,\pi}{8}.
  • Valor numérico (aproximação):
\eta_{\text{BCC}}\approx 0,68017\quad\text{(ou }68{,}02\%\text{)}.

Passo 7

Descrição e contagem:
  • HCP = empacotamento hexagonal compacto. A célula convencional hexagonal (prismática) usada para HCP contém efetivamente N=6 átomos por célula.
  • Precisamos do parâmetro de rede basal a e da altura c. Na compactação ideal, as esferas tocam no plano basal, logo:
a=2r.

Passo 8

Explicando geometricamente o c/a da HCP (passo a passo, sem pular):
  • Considere três esferas no plano basal formando um triângulo equilátero de lado a. O centróide desse triângulo está à distância \dfrac{a}{\sqrt{3}} de cada um dos centros.
  • A esfera da camada acima (posicionada sobre esse buraco) toca cada uma das três esferas do triângulo. A distância entre os centros da esfera superior e de qualquer esfera basal é 2r. Chamando z a separação vertical entre as camadas (distância entre planos de centros), temos, por Teorema de Pitágoras:
(2r)^{2}=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+z^{2}.
  • Substituindo a=2r:
(2r)^{2}=\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^{2}+z^{2} \quad\Rightarrow\quad 4r^{2}=\frac{4r^{2}}{3}+z^{2}
\Rightarrow z^{2}=4r^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}r^{2} \quad\Rightarrow\quad z=r\sqrt{\frac{8}{3}}.
  • A célula hexagonal convencional tem altura c igual a duas vezes essa separação (A → B → A), logo:
c=2z=2r\sqrt{\frac{8}{3}}.
  • Em termos de a=2r:
c=a\sqrt{\frac{8}{3}}\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1{,}633.

Passo 9

Cálculo do volume da célula e do fator:
  • Área da base (hexágono regular de lado a) é
A_{\text{base}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
  • Volume da célula:
V_{\text{cel}}=A_{\text{base}}\cdot c=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\,c.
  • Substituindo a=2r e c=a\sqrt{\tfrac{8}{3}}:
V_{\text{cel}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,(2r)^{2}\Bigl(2r\sqrt{\tfrac{8}{3}}\Bigr).
  • Simplificando passo a passo:
V_{\text{cel}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4r^{2}\cdot 2r\sqrt{\tfrac{8}{3}} =\frac{3\sqrt{3}\cdot 8}{2}\,r^{3}\sqrt{\tfrac{8}{3}} =12\sqrt{3}\,r^{3}\sqrt{\tfrac{8}{3}}.
  • Note que \sqrt{3}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. Então
V_{\text{cel}}=12\cdot 2\sqrt{2}\,r^{3}=24\sqrt{2}\,r^{3}.
  • Volume total de átomos na célula (com N=6):
N\cdot V_{\text{esfera}}=6\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=8\pi r^{3}.
  • Fator de empacotamento:
\eta_{\text{HCP}}=\frac{8\pi r^{3}}{24\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  • Valor numérico:
\eta_{\text{HCP}}\approx 0,74048\quad\text{(ou }74{,}05\%\text{)}.

Passo 10

Resumo interpretativo, estilo amigo que anima:
  • HCP e FCC têm exatamente o mesmo fator de empacotamento porque ambos são empacotamentos compactos mais densos possíveis de esferas idênticas, arranjados de forma diferente mas com a mesma densidade local.
  • BCC é menos eficiente que FCC/HCP, porque a geometria BCC deixa mais espaço vazio entre esferas.

Resposta

HCP: \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048 (74{,}05%)
FCC: \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048 (74{,}05%)
BCC: \dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{8}\approx 0,68017 (68{,}02%)

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