Questão 3 Calcule a integral de superfície
\iint_{S}(x+y+z) d S,
onde S é o paralelogramo parametrizado por
\vec{r}(u, v)=(u+v, 2 u-v, 1+u+v), \quad 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 1 .
3 \sqrt{6}
7 \sqrt{6}
\frac{5 \sqrt{6}}{2}
\sqrt{6}
\frac{7 \sqrt{6}}{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Superfície S é o paralelogramo parametrizado por
\vec{r}(u,v)=(u+v,\;2u-v,\;1+u+v),\qquad 0\le u\le1,\;0\le v\le1.
  • Precisa-se calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x+y+z)\,dS.
  • Informações relevantes: a função a ser integrada é x+y+z avaliada na superfície; a superfície está dada por uma parametrização \vec r(u,v) em um domínio retangular unitário em (u,v).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada):
  • Para uma superfície parametrizada por \vec r(u,v) com domínio D em (u,v), a integral de superfície de uma função escalar f(x,y,z) é
\iint_{S} f\,dS \;=\; \iint_{D} f\big(\vec r(u,v)\big)\,\big\lVert \vec r_u\times\vec r_v\big\rVert\,du\,dv.
Aqui \vec r_u e \vec r_v são as derivadas parciais de \vec r em relação a u e v; o produto vetorial \vec r_u\times\vec r_v dá um vetor normal à superfície e sua norma \lVert\cdot\rVert fornece o fator de área elementar. Vou calcular \vec r_u, \vec r_v, o produto vetorial, avaliar f(\vec r(u,v)) e integrar no quadrado unitário 0\le u,v\le1.

Passo 3

Calcular \vec r_u e \vec r_v:
  • Diferenciando componente a componente,
\vec r_u=\frac{\partial\vec r}{\partial u}=(1,\;2,\;1), \qquad \vec r_v=\frac{\partial\vec r}{\partial v}=(1,\;-1,\;1).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec r_u\times\vec r_v (passo a passo):
  • Usando a regra do determinante,
\vec r_u\times\vec r_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot1-1\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot1-1\cdot1)+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-2\cdot1).
  • Calculando cada componente:
\vec r_u\times\vec r_v=(3,\;0,\;-3).]

Passo 5

Calcular a norma \big\lVert \vec r_u\times\vec r_v\big\rVert:
\big\lVert \vec r_u\times\vec r_v\big\rVert=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Isso significa que o elemento de área é constante sobre o paralelogramo: dS=3\sqrt{2}\,du\,dv.

Passo 6

Avaliar a função sobre a parametrização:
  • A função é f(x,y,z)=x+y+z. Substituindo \vec r(u,v),
f\big(\vec r(u,v)\big)=(u+v)+(2u-v)+(1+u+v).
  • Somando termos semelhantes:
f\big(\vec r(u,v)\big)=4u+v+1.

Passo 7

Montar a integral dupla em (u,v):
\iint_{S}(x+y+z)\,dS = \iint_{[0,1]\times[0,1]} \big(4u+v+1\big)\cdot 3\sqrt{2}\; du\,dv.
Como 3\sqrt{2} é constante, fica
3\sqrt{2}\iint_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,dv\,du.

Passo 8

Calcular a integral interna em v:
\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,dv = \int_{0}^{1} (4u+1)\,dv + \int_{0}^{1} v\,dv = (4u+1)\cdot 1 + \frac{1}{2} =4u+\frac{3}{2}.

Passo 9

Integrar em u e multiplicar pela constante:
\int_{0}^{1}\left(4u+\frac{3}{2}\right)du =4\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot 1 =2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.
Multiplicando por 3\sqrt{2},
3\sqrt{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{21\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{21\sqrt{2}}{2}

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