Questão [q6]. Calcule a integral tripla
\iiint_{D} x d V
em que D é o sólido que se encontra abaixo da superfície z=x y e acima do triângulo no plano x y, limitado pelas retas y=0, x=1 e y=x.
\frac{1}{15}
□ Nenhuma das demais alternativas.
□ 0
\frac{1}{10}
\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} x\, dV
onde D é o sólido que fica “abaixo” da superfície z=xy e “acima” do triângulo no plano xy limitado pelas retas y=0, x=1 e y=x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície superior do sólido é dada por z=xy.
  • A base do sólido é o triângulo T no plano z=0 (plano xy) determinado por:
    • y=0 (eixo x),
    • y=x (diagonal),
    • x=1 (reta vertical).
  • Os vértices desse triângulo são (0,0), (1,0) e (1,1).
  • O enunciado quer o valor numérico da integral tripla \iiint_{D} x\, dV.

Passo 2

Entendimento geométrico e estratégia de integração (sem pular etapas).
  • O sólido D está sobre o triângulo T no plano xy e abaixo da superfície z=xy. Isso significa que, para cada ponto (x,y) no triângulo T, a coordenada z varia do plano z=0 até z=xy.
  • Logo, podemos escrever a integral tripla como uma integral iterada em que primeiro integramos em z (de 0 a xy) e depois sobre a região T no plano xy.
  • Este procedimento é um caso da regra de Fubini (para integrais múltiplas): se a região e a função são adequadas, a integral tripla pode ser escrita como iteradas em uma ordem conveniente. Aqui a ordem dz\,dy\,dx ou dz\,dx\,dy é natural porque o teto em z é simples ( z=xy).
Portanto, escrevemos
\iiint_{D} x\, dV = \iint_{T} \left( \int_{z=0}^{z=xy} x\, dz \right) dA.

Passo 3

Integração interna em z. Vou explicar direitinho:
  • Dentro da integral interna, x é tratado como constante porque estamos integrando em relação a z.
  • A integral de uma constante c em z de a até b é c(b-a). Aqui c=x, a=0, b=xy.
Assim,
\int_{z=0}^{z=xy} x\, dz = x\cdot (xy - 0) = x\cdot xy = x^{2}y.
Com isso a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre o triângulo T:
\iiint_{D} x\, dV = \iint_{T} x^{2} y \, dA.

Passo 4

Descrição do triângulo T e escolha das ordens de integração (com explicação didática).
  • O triângulo T tem x variando de 0 a 1. Para cada x fixo nessa faixa, y varia entre a reta inferior y=0 e a reta superior y=x.
  • Portanto uma parametrização simples do domínio é 0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le x.
  • Essa escolha é natural porque as curvas que limitam o triângulo são fáceis nessa orientação, e assim evitamos complicar com raízes ou funções inversas.
Logo escrevemos a integral dupla iterada:
\iint_{T} x^{2} y \, dA = \int_{x=0}^{1} \left( \int_{y=0}^{x} x^{2} y \, dy \right) dx.

Passo 5

Calcule a integral interna em y passo a passo.
  • Dentro da integral interna x^{2} é constante (em relação a y), então
\int_{y=0}^{x} x^{2} y \, dy = x^{2} \int_{y=0}^{x} y \, dy.
  • A integral de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Avaliando de 0 a x obtemos \dfrac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int_{y=0}^{x} x^{2} y \, dy = x^{2}\cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{2}.

Passo 6

Agora integramos em x e explicamos cada passo:
  • A integral restante é
\int_{x=0}^{1} \frac{x^{4}}{2}\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\, dx.
  • A primitiva de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}. Avaliando de 0 a 1 obtemos \dfrac{1^{5}}{5}-0=\dfrac{1}{5}.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} resulta em \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{10}.
Logo
\iiint_{D} x\, dV = \frac{1}{10}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo.
  • O cálculo mostrou que a contribuição do integrando x no volume definido é \dfrac{1}{10}.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — isso é exatamente o tipo de integral que cai em prova: reconhecer limites em z, reduzir a uma integral dupla e escolher uma ordem de integração que torne os limites simples.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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