Questão [q6]. Calcule a integral tripla
em que
é o sólido que se encontra abaixo da superfície
e acima do triângulo no plano
, limitado pelas retas
e
.
□
□ Nenhuma das demais alternativas.
□ 0
□
□
□
□ Nenhuma das demais alternativas.
□ 0
□
□
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido que fica “abaixo” da superfície
e “acima” do triângulo no plano
limitado pelas retas
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície superior do sólido é dada por
. - A base do sólido é o triângulo
no plano (plano ) determinado por: -
(eixo ), -
(diagonal), -
(reta vertical).
-
- Os vértices desse triângulo são
, e . - O enunciado quer o valor numérico da integral tripla
.
Passo 2
Entendimento geométrico e estratégia de integração (sem pular etapas).
- O sólido
está sobre o triângulo no plano e abaixo da superfície . Isso significa que, para cada ponto no triângulo , a coordenada varia do plano até . - Logo, podemos escrever a integral tripla como uma integral iterada em que primeiro integramos em
(de a ) e depois sobre a região no plano . - Este procedimento é um caso da regra de Fubini (para integrais múltiplas): se a região e a função são adequadas, a integral tripla pode ser escrita como iteradas em uma ordem conveniente. Aqui a ordem
ou é natural porque o teto em é simples ( ).
Portanto, escrevemos
Passo 3
Integração interna em
. Vou explicar direitinho:
- Dentro da integral interna,
é tratado como constante porque estamos integrando em relação a . - A integral de uma constante
em de até é . Aqui , , .
Assim,
Com isso a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre o triângulo
:
Passo 4
Descrição do triângulo
e escolha das ordens de integração (com explicação didática).
- O triângulo
tem variando de a . Para cada fixo nessa faixa, varia entre a reta inferior e a reta superior . - Portanto uma parametrização simples do domínio é
- Essa escolha é natural porque as curvas que limitam o triângulo são fáceis nessa orientação, e assim evitamos complicar com raízes ou funções inversas.
Logo escrevemos a integral dupla iterada:
Passo 5
Calcule a integral interna em
passo a passo.
- Dentro da integral interna
é constante (em relação a ), então
- A integral de
é . Avaliando de a obtemos .
Portanto
Passo 6
Agora integramos em
e explicamos cada passo:
- A integral restante é
- A primitiva de
é . Avaliando de a obtemos . - Multiplicando pelo fator
resulta em .
Logo
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo.
- O cálculo mostrou que a contribuição do integrando
no volume definido é . - Bom trabalho por chegar até aqui — isso é exatamente o tipo de integral que cai em prova: reconhecer limites em
, reduzir a uma integral dupla e escolher uma ordem de integração que torne os limites simples.