Questão [q11]. Calcule a área da superfície vertical delimitada inferiormente por \gamma(t)=(t, t, \sin t), 0 \leq t \leq \pi, e superiormente por \varphi(t)=(t, t, t), 0 \leq t \leq \pi.
\frac{\pi^{2}}{2}-2
\frac{\pi^{2}}{2}-1
\frac{\pi^{2}}{2}
□ Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície vertical que é limitada inferiormente pela curva \gamma(t)=(t,t,\sin t) e superiormente pela curva \varphi(t)=(t,t,t), para 0\le t\le\pi.
Informações dadas:
  • As duas curvas têm as mesmas coordenadas x=t e y=t; diferem apenas na coordenada z: uma tem z=\sin t e a outra z=t.
  • O parâmetro t varia em [0,\pi].
  • A superfície é formada, para cada t, pelo segmento vertical que vai de z=\sin t até z=t na reta (x,y)=(t,t).
O que é pedido: calcular a área dessa superfície (a área real em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente. Como a superfície consiste em segmentos verticais sobre a curva no plano x=y, uma parametrização simples é usar como parâmetros t (posição ao longo da curva) e s (altura vertical):
\mathbf{r}(t,s) = (t,\,t,\,s), \qquad 0\le t\le\pi,\quad \sin t \le s \le t.
Aqui t marca qual segmento vertical estamos, e s marca a posição ao longo desse segmento. Essa parametrização descreve exatamente o conjunto \{(t,t,s):0\le t\le\pi,\\ \sin t\le s\le t\}.
Explicação didática: para calcular área de uma superfície paramétrica \mathbf{r}(u,v) definida num domínio D no plano (u,v), usa-se a fórmula
\text{área}=\iint_{D} \big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,dudv,á
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais e \times é o produto vetorial. O motivo intuitivo: \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v dá um vetor cujo comprimento é a área do paralelogramo formado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, que aproxima um pequeno pedaço da superfície.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da parametrização escolhida.
\mathbf{r}_t(t,s)=\frac{\partial}{\partial t}(t,t,s)=(1,\,1,\,0), \qquad \mathbf{r}_s(t,s)=\frac{\partial}{\partial s}(t,t,s)=(0,\,0,\,1).
Explicação: derivando componente a componente; a terceira componente é s, então \partial/\partial t 0 e \partial/\partial s 1.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_s e o seu módulo.
Usando a expressão de determinante para o produto vetorial:
\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1)\mathbf{i} - (1)\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (1,\,-1,\,0).
O módulo é
\big\lVert\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_s\big\rVert = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.
Comentário didático: o módulo é constante ( \sqrt{2}) porque a superfície está num plano vertical inclinado (o plano x=y) e as direções dos parâmetros são sempre as mesmas: mover em t dá o vetor (1,1,0) e mover em s (0,0,1), então o paralelogramo elemental tem área constante.

Passo 5

Escrever a integral dupla que dá a área e simplificá-la:
\text{Área}=\int_{t=0}^{\pi}\int_{s=\sin t}^{t} \big\lVert\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_s\big\rVert\, ds\, dt = \int_{0}^{\pi}\int_{\sin t}^{t} \sqrt{2}\, ds\, dt.Á
Integrando em s (é trivial porque o integrando não depende de s):
\text{Área}=\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} \bigl(t-\sin t\bigr)\, dt.Á

Passo 6

Calcular a integral unidimensional \int_{0}^{\pi} (t-\sin t)\,dt.
Primeiro, integrar termo a termo:
\int (t-\sin t)\,dt = \frac{t^{2}}{2} + \cos t + C,
pois \int t\,dt = \tfrac{t^{2}}{2} e \int -\sin t\,dt = \cos t.
Avaliar de 0 a \pi:
\left[\frac{t^{2}}{2}+\cos t\right]_{0}^{\pi} = \left(\frac{\pi^{2}}{2}+\cos\pi\right) - \left(0+\cos 0\right) = \frac{\pi^{2}}{2} -1 - 1 = \frac{\pi^{2}}{2} - 2.
Observação: em t\in[0,\pi] tem-se t-\sin t\ge 0, então não há problema de sinal.
Portanto a área é
\text{Área}=\sqrt{2}\,\left(\frac{\pi^{2}}{2}-2\right).Á

Passo 7

Interpretar o resultado e comparar com as opções dadas. As opções apresentadas eram:
  • \dfrac{\pi^{2}}{2}-2
  • \dfrac{\pi^{2}}{2}-1
  • \dfrac{\pi^{2}}{2}
  • Nenhuma das anteriores
O valor correto encontrado é \sqrt{2}\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{2}-2\bigr), que não coincide com nenhuma das três primeiras opções (faltando o fator \sqrt{2}). Logo a alternativa correta é a quarta.

Resposta

Nenhuma das anteriores

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