Questão [q11]. Calcule a área da superfície vertical delimitada inferiormente por \gamma(t)=(t, t, \sin t), 0 \leq t \leq \pi, e superiormente por \varphi(t)=(t, t, t), 0 \leq t \leq \pi.
□ \frac{\pi^{2}}{2}-2
□ \frac{\pi^{2}}{2}-1
□ \frac{\pi^{2}}{2}
□ Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície vertical que é limitada inferiormente pela curva \gamma(t)=(t,t,\sin t) e superiormente pela curva \varphi(t)=(t,t,t), para 0\le t\le\pi.
Informações dadas:
As duas curvas têm as mesmas coordenadas x=t e y=t; diferem apenas na coordenada z: uma tem z=\sin t e a outra z=t.
O parâmetro t varia em [0,\pi].
A superfície é formada, para cada t, pelo segmento vertical que vai de z=\sin t até z=t na reta (x,y)=(t,t).
O que é pedido: calcular a área dessa superfície (a área real em \mathbb{R}^3).
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente. Como a superfície consiste em segmentos verticais sobre a curva no plano x=y, uma parametrização simples é usar como parâmetros t (posição ao longo da curva) e s (altura vertical):
\mathbf{r}(t,s) = (t,\,t,\,s), \qquad 0\le t\le\pi,\quad \sin t \le s \le t.
Aqui t marca qual segmento vertical estamos, e s marca a posição ao longo desse segmento. Essa parametrização descreve exatamente o conjunto \{(t,t,s):0\le t\le\pi,\\ \sin t\le s\le t\}.
Explicação didática: para calcular área de uma superfície paramétrica \mathbf{r}(u,v) definida num domínio D no plano (u,v), usa-se a fórmula
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais e \times é o produto vetorial. O motivo intuitivo: \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v dá um vetor cujo comprimento é a área do paralelogramo formado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, que aproxima um pequeno pedaço da superfície.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da parametrização escolhida.
Comentário didático: o módulo é constante (\sqrt{2}) porque a superfície está num plano vertical inclinado (o plano x=y) e as direções dos parâmetros são sempre as mesmas: mover em t dá o vetor (1,1,0) e mover em s dá (0,0,1), então o paralelogramo elemental tem área constante.
Passo 5
Escrever a integral dupla que dá a área e simplificá-la:
Interpretar o resultado e comparar com as opções dadas. As opções apresentadas eram:
\dfrac{\pi^{2}}{2}-2
\dfrac{\pi^{2}}{2}-1
\dfrac{\pi^{2}}{2}
Nenhuma das anteriores
O valor correto encontrado é \sqrt{2}\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{2}-2\bigr), que não coincide com nenhuma das três primeiras opções (faltando o fator \sqrt{2}). Logo a alternativa correta é a quarta.