Questão 4: Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{6}+2 x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{6}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x}.
Este é um problema de limites de funções racionais no infinito: vamos usar o comportamento assintótico das potências de x.

Passo 2

Em limites no infinito de frações de polinômios, o termo de maior grau domina. Aqui o maior grau do numerador é 6 e o do denominador é 4. Para ficar explícito, dividimos numerador e denominador por x^4.

Passo 3

Dividindo tudo por x^4 obtemos
\frac{x^{6}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+x} =\frac{x^{6}/x^4+2x^{2}/x^4}{x^{4}/x^4+x^{2}/x^4+x/x^4} =\frac{x^2+2x^{-2}}{1+x^{-2}+x^{-3}}.
Quando x\to\infty, temos x^{-2}\to0 e x^{-3}\to0, de modo que a expressão acima se comporta como
\frac{x^2+0}{1+0+0}=x^2,
e o limite de x^2 quando x\to\infty é +\infty.

Resposta

\displaystyle +\infty

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