Questão 4: Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{5}+13 x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3 x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{5}+13x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3x}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito. Vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior grau de x presente (que é 6).

Passo 2

Dividimos cada termo de numerador e denominador por x^{6}. Assim,
\frac{x^{5}+13x^{2}}{x^{6}-x^{2}+3x} =\frac{\displaystyle \frac{x^{5}}{x^{6}}+\frac{13x^{2}}{x^{6}}}{\displaystyle \frac{x^{6}}{x^{6}}-\frac{x^{2}}{x^{6}}+\frac{3x}{x^{6}}} =\frac{\frac{1}{x}+\frac{13}{x^{4}}}{1-\frac{1}{x^{4}}+\frac{3}{x^{5}}}.

Passo 3

Agora observamos o comportamento de cada fração quando x\to\infty: \tfrac{1}{x}\to0, \tfrac{13}{x^{4}}\to0, \tfrac{1}{x^{4}}\to0 e \tfrac{3}{x^{5}}\to0.

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão, fica
\frac{0+0}{1-0+0} = 0.
Além disso, como o grau do denominador 6 é maior que o do numerador 5, o limite é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados