Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{1}^{2} \frac{2 x}{x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx.
Informações dadas e importantes:
  • O integrando é \frac{2x}{x^{2}+3}.
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=2 (superior).
  • Note que x^{2}+3>0 para todo x, então não há problema de descontinuidade no intervalo [1,2] — a integral existe.

Passo 2

Estratégia intuitiva (sem formalizar a “matéria”): observe que o numerador 2x é exatamente a derivada do denominador x^{2}+3. Quando temos uma expressão do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)}, existe uma fórmula direta muito útil:
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\big|f(x)\big| + C.
Vou mostrar isso na prática usando substituição, que é o caminho padrão aqui.

Passo 3

Aplicando substituição: defina a variável
u = x^{2}+3.
Agora calcule a diferencial de u. Derivando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isso é ótimo porque o numerador 2x\,dx aparece exatamente na integral original.

Passo 4

Troca da integral usando u. Substituindo u e du em \int \dfrac{2x}{x^{2}+3}\,dx obtemos a integral em u:
\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{u}\,du,
portanto a integral indefinida correspondente seria \int \frac{1}{u}\,du. Como a integral pedida é definida, precisamos também trocar os limites de integração.

Passo 5

Mudança dos limites: calcule u nos extremos dados em x.
\text{quando } x=1,\; u = 1^{2}+3 = 4,
\text{quando } x=2,\; u = 2^{2}+3 = 7.
Assim a integral definida fica
\int_{1}^{2} \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx = \int_{4}^{7} \frac{1}{u}\,du.
Lembre-se: ao transformar uma integral definida por substituição, sempre trocamos os limites para a nova variável — isso evita ter que voltar ao x no final.

Passo 6

Calcule a integral em u. A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
No nosso caso, u varia de 4 a 7 e é positivo, então podemos escrever sem barras de valor absoluto:
\int_{4}^{7} \frac{1}{u}\,du = \Big[\ln u\Big]_{4}^{7} = \ln 7 - \ln 4.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), isso simplifica para
\ln 7 - \ln 4 = \ln\!\left(\frac{7}{4}\right).

Passo 7

Pequeno reforço (exemplo extra, para fixar): se tivéssemos \int \dfrac{6x}{3x^{2}+5}\,dx, poderíamos ver f(x)=3x^{2}+5 e f'(x)=6x, então a integral seria \ln|3x^{2}+5|+C. É exatamente o mesmo raciocínio que usamos aqui, só que sem limites.

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{7}{4}\right)

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