Questão 1. Calcule as seguintes integrais \int_{1}^{2} \frac{2 x}{x^{2}+3} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx.
Informações dadas e importantes:
O integrando é \frac{2x}{x^{2}+3}.
Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=2 (superior).
Note que x^{2}+3>0 para todo x, então não há problema de descontinuidade no intervalo [1,2] — a integral existe.
Passo 2
Estratégia intuitiva (sem formalizar a “matéria”): observe que o numerador 2x é exatamente a derivada do denominador x^{2}+3. Quando temos uma expressão do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)}, existe uma fórmula direta muito útil:
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\big|f(x)\big| + C.
Vou mostrar isso na prática usando substituição, que é o caminho padrão aqui.
Passo 3
Aplicando substituição: defina a variável
u = x^{2}+3.
Agora calcule a diferencial de u. Derivando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isso é ótimo porque o numerador 2x\,dx aparece exatamente na integral original.
Passo 4
Troca da integral usando u. Substituindo u e du em \int \dfrac{2x}{x^{2}+3}\,dx obtemos a integral em u:
\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{u}\,du,
portanto a integral indefinida correspondente seria \int \frac{1}{u}\,du. Como a integral pedida é definida, precisamos também trocar os limites de integração.
Passo 5
Mudança dos limites: calcule u nos extremos dados em x.
Lembre-se: ao transformar uma integral definida por substituição, sempre trocamos os limites para a nova variável — isso evita ter que voltar ao x no final.
Passo 6
Calcule a integral em u. A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
No nosso caso, u varia de 4 a 7 e é positivo, então podemos escrever sem barras de valor absoluto:
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), isso simplifica para
\ln 7 - \ln 4 = \ln\!\left(\frac{7}{4}\right).
Passo 7
Pequeno reforço (exemplo extra, para fixar): se tivéssemos \int \dfrac{6x}{3x^{2}+5}\,dx, poderíamos ver f(x)=3x^{2}+5 e f'(x)=6x, então a integral seria \ln|3x^{2}+5|+C. É exatamente o mesmo raciocínio que usamos aqui, só que sem limites.