Questão 2. Calcule as seguintes integrais.
\int \ln (x) d x \quad( Dica: \ln (x)=1 \cdot \ln (x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln(x)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\ln(x)
é a função a ser integrada. Observação importante: a função \ln(x) está definida apenas para x>0, portanto a integral será considerada no domínio x>0.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Antes de aplicá‑la, vou explicar de onde vem essa fórmula (assim você entende e lembra na prova). Começamos pela regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
\int \frac{d}{dx}\bigl(u\,v\bigr)\,dx=\int u'\,v\,dx+\int u\,v'\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente u\,v. Rearranjando,
\int u\,v'\,dx = u\,v - \int v\,u'\,dx.
Essa é a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
onde escolhemos u=u(x), dv=v'(x)\,dx, du=u'(x)\,dx e v é uma primitiva de dv.

Passo 3

Agora escolhemos u e dv para a nossa integral \int \ln(x)\,dx. Uma escolha natural e simples é separar \ln(x) como produto de duas funções:
\ln(x)=1\cdot \ln(x).
Tomamos
u=\ln(x)\quad\text{e}\quad dv=dx.
Esta escolha é padrão porque \ln(x) fica mais simples ao derivar, e dx é fácil de integrar.

Passo 4

Calculemos du e v a partir das escolhas:
  • Diferenciando u=\ln(x) obtemos
du=\frac{d}{dx}\ln(x)\,dx=\frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv=dx obtemos
v=\int dx = x.

Passo 5

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = \int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Substituindo u=\ln(x), v=x e du=\dfrac{1}{x}\,dx, temos
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando dentro da segunda integral:
x\cdot\frac{1}{x}=1,
logo
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.

Passo 6

Calcule a integral restante e acrescente a constante de integração:
\int 1\,dx = x,
portanto
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Lembre-se que essa expressão vale para x>0, domínio natural de \ln(x).

Passo 7

Verificação rápida (para confiar no resultado): derivando o resultado deve retornar o integrando original. Derivando \;x\ln(x)-x\; obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x)-x\bigr)=\ln(x)+1-1=\ln(x),
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

x\ln(x)-x+C

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