Questão 2. Calcule as seguintes integrais.
Dica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é a função a ser integrada. Observação importante: a função
está definida apenas para
, portanto a integral será considerada no domínio
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Antes de aplicá‑la, vou explicar de onde vem essa fórmula (assim você entende e lembra na prova). Começamos pela regra do produto para derivadas:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos
O lado esquerdo é simplesmente
. Rearranjando,
Essa é a fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
,
,
e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Agora escolhemos
e
para a nossa integral
. Uma escolha natural e simples é separar
como produto de duas funções:
Tomamos
Esta escolha é padrão porque
fica mais simples ao derivar, e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calculemos
e
a partir das escolhas:
- Diferenciando
obtemos
- Integrando
obtemos
Passo 5
Aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
, temos
Simplificando o integrando dentro da segunda integral:
logo
Passo 6
Calcule a integral restante e acrescente a constante de integração:
portanto
onde
é a constante arbitrária de integração. Lembre-se que essa expressão vale para
, domínio natural de
.
Passo 7
Verificação rápida (para confiar no resultado): derivando o resultado deve retornar o integrando original. Derivando
obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.