Questão 9)* Calcule as seguintes integrais:
\int \sqrt{\ln x} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{\ln x}\,dx,
para x>0.
O conteúdo principal aqui é usar uma mudança de variável para transformar essa integral numa forma que envolva a função exponencial, e depois reconhecer a integral de e^{t^2} em termos da função erro imaginária \mathrm{erfi}(t).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{\ln x}.
Então \ln x = t^2, x = e^{t^2} e, ao derivar,
dx = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^2}\bigr)\,dt = 2t\,e^{t^2}\,dt.

Passo 3

Na integral original substituímos \sqrt{\ln x}=t e dx=2t\,e^{t^2}dt. Assim
\int \sqrt{\ln x}\,dx = \int t \,\bigl(2t\,e^{t^2}\bigr)\,dt = \int 2\,t^2\,e^{t^2}\,dt.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int 2\,t^2\,e^{t^2}\,dt, note que
\frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{t^2}\bigr) = e^{t^2} + 2t^2\,e^{t^2} \quad\Longrightarrow\quad 2t^2\,e^{t^2} = \frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{t^2}\bigr) - e^{t^2}.
Logo
\int 2\,t^2\,e^{t^2}\,dt = \int \frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{t^2}\bigr)\,dt - \int e^{t^2}\,dt = t\,e^{t^2} - \int e^{t^2}\,dt.

Passo 5

Sabe-se que a integral de e^{t^2} não é elementar, mas define-se a função erro imaginária:
\int e^{t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(t) + C.
Então
\int 2\,t^2\,e^{t^2}\,dt = t\,e^{t^2} - \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(t) + C.

Passo 6

Volta-mos à variável x usando t=\sqrt{\ln x} e e^{t^2}=x. Assim a antiderivada original é
x\,\sqrt{\ln x} -\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}\bigl(\sqrt{\ln x}\bigr) + C.

Resposta

x\sqrt{\ln x} -\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}\bigl(\sqrt{\ln x}\bigr) + C

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